х, если х ≥ 0
-х, если х < 0
 бсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число – х, если х – отрицательно:
/х/=
По определению /х/ ≥ 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5.
Свойства абсолютных величин:
1. │х+у│ ≤ │х│+│у│, 2. │х-у│ ≥ │х│ - │у│,
3. │ху│ = │х│*│у│, 4. │х/у│ = │х│/│у│
Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│< ε, можно написать: -ε< -│х│≤ х ≤│х│<ε, или -ε<х<ε, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-ε, ε).
Рассмотрим неравенства │х-а│<ε (где ε>0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (а – ε, а+ε), или а - ε<х<а+ε.
Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.
И нтервал (а – ε, а+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-а│<ε (где ε>0), называется ε – окрестностью точки а. Рис.2 (ε – эсилон, буква греческого алфавита).
Рис.2
 
х
а – ε а а+ε
Тема 9. Функция. Классификация функций.
Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество У).
Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – У.
х – независимая переменная (аргумент).
у – зависимая переменная,
ƒ – закон соответствия, знак функции.
Пусть Х и У множества вещественных чисел.
Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1
Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞), область значений является множество У = [0, ∞).
Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).
Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.
х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).
Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х – 1).
Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) – область определения функции.
Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в точках
х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.
Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | - 1| / 1= 1;
f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0.
f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.
Пример 5. Дана функция f(х) = 3х2 + х – 1.
Найти значение этой функции при 1) х=а2 – 1, 2) х = 1/t.
Решение: 1)f(а2 – 1) = 3(а2 – 1)2 + а2 – 1 – 1=3а4 – 6а2 + 3 + а2 - 2 = 3а4 – 5а2 + 1.
2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t – 1 = (3 + t – t2)/t2.
Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции.
а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически.
б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица логарифмов.
в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х).
Например, у = х2 (Рис.1); у =  (Рис.2)
  у
у
 
0 х 0 х
Рис. 1. Рис. 2.
Г ) Описательный способ, если функция записывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:
1, если х – рациональное число.
f(х) =
0, если х – иррациональное число.
Основные элементарные функции.
Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные. Перечислим их:
у = хп, у = х –п, у = хм/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются степенными.
Показательная функция у = ах, а > 0, а ≠ 1.
Логарифмическая функция у = logах, а>0, а ≠ 1
Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х.
Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у = arctg х,
у = arcctg х.
Сложная функция. (суперпозиция функций).
Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.
Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются элементарными.
Например, у =  )/(sin2х+3) или у = 2 - tg х.
П   римером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график представлен на рис. 3.
У
Рис.3
0
х
Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.
1 класс алгебраических функций:
а) у = А0хп + А1хп-1 + А2хп-2 + … + Ап-1х + Ап, это многочлен (полином) п – степени или целая алгебраическая функция, где А0, А1, А2, … , Ап – вещественные числа, коэффициенты многочлена.
б) у = ( А0хп + А1хп-1 + … + Ап)/(В0хм + В1хм-1 + … +Вм), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.
в) Иррациональная функция, например, у =  + х2.
2 класс трансценденных функций.
а) у = ах, а > 0, а ≠1, показательная функция,
б) у = logах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция,
в) все тригонометрические функции,
г) все обратные тригонометрические функции,
д) функции вида у = хL , где L – иррациональное число. Например, у = хπ.
Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Понятие о непрерывности функции.
Определение. ε – окрестностью точки а называется открытый интервал (а-ε, а+ε) (ε – эпсилон буква греческого алфавита), или |х - а|< ε.
Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.
Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство |f(x) - b|<ε.
x→a
В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b.
(lim – сокращенное слово limit(предел)).
Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.
При отыскании предела мы не учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Рис. 1, 2, 3, 4.
y y
f(a)=b
  f(a) y= f(x)
    y = f (x)
 b
 0
0 a x а х
Рис.1 Рис.2
 y
   f(a)
   f(a)
0 a x 0 a x
Рис.3 Рис.4
На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2) значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) = b . На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.
О
х→а
пределение. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a).
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.
Основные теоремы о пределах функций.
1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.
х→а
х→а
х→а
lim (f(x) + φ(x)) = lim f(x) + lim φ(x)
2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.
х→а
х→а
х→а
lim [f(x) * φ(x)] = lim f(x) * lim φ(x)
3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.
х→а
х→а
lim С*f(x) = С *lim f(x)
Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела.
4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
х→а
х→а
х→а
х→а
lim f(x) / φ(x) = lim f(x) / lim φ(x), limφ(х)≠0.
Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то говорят, что отношение стремиться к бесконечности.
Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.
Раз мы добавили новый элемент ко множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом ∞.
Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда
а + ∞ = ∞
|
-∞ + а = -∞
|
∞ * (-а) = - ∞, а › 0
|
∞ - а = ∞
|
-∞ - а = - ∞
|
∞ * ∞ = ∞
|
а * ∞ = ∞, а ≠ 0
|
∞ + ∞ = ∞
|
а/∞ = 0, ∞/а = ∞
|
|
- ∞ - ∞ = - ∞
|
|
Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.
Выделяют неопределенности двух типов:
Арифметические неопределенности (0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00).
Степенно-показательные неопределенности (100); (000); 00.
Эти записи не являются операциями над числами и 00, они представляют собой только деловые обозначения.
В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.
П
х→ -2
ример 1. Найти lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)].
Решение:
1
х→ -2
) Подставим точку х = - 2 в нашу функцию, получим lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] =
= (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).
2
х→ -2
х→ -2
) Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] lim [(х – 2) * (x+2)] / [(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) = -4/ -3= 4/3/
х→ 00
Пример 2. lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]
Решение:
х→ 00
х→ 00
х→ 00
lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = (00/00). Чтобы раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя х в старшей степени, т.е. х2, получим: lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = lim [(х2 *
х→ 00
х→ 00
(1 – 4/х2) / (x2(1+1/x – 2/x2)] = 1/1=1, т.к. lim 4/х2 = 4 / 00 = 0, . lim 1/х =
1
х→ 00
/00=0 и . lim 2/х2 = 2/00
Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.
П
х→ 0
ервый замечательный предел .lim sinx/х = 1, он раскрывает неопределенность (0/0).
В
х→ 00
торой замечательный предел. . lim (1+1/х)х = ℮, где ℮=2, 7, …
иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log℮x = lnx и называется натуральным логарифмом.
П
х→ 0
ример. 3 Найти lim (sin3x)/х = (0/0).
Р
х→ 0
х→ 0
ешение: lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) / (3х) = 3*1 = 3
П
х→ 0
ример. 4 Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).
Р
х→ 0
х→ 0
ешение: lim (sin5x / sin2х) = lim [((sin5x / 5х)*5x) / ((sin2x / 2x) * 2x)]
=
х→ 0
х→ 0
5/2 * [(lim (sin5x / 5х)) / lim (sin2x / 2х)] = 5/2
П
х→ 00
ример. 5 Найти lim (1+(1/2x))x = 100.
Р
х→ 0
ешение: lim (1+(1/2x))2x * (1/2) = ℮1/2= ℮
П
х→ 00
ример. 6 Найти lim (1+(1/(x-1))x = 100.
Р
х→ 00
х→ 00
ешение: lim [1+(1/(x-1))]x -1+1 = lim [(1+(1/(x-1)))x -1 * (1+(1/(x-1)))1] = ℮*1 = ℮
|
