Курсы кафедры теории функций
Квазиконформные и квазисимметрические отображения
Руководитель: д.ф.-м.н., профессор В.В. Асеев
Курс рассчитан на студентов 3-4 курсов механико-математического факультета НГУ, обучающихся по направлениям математика и математика и компьютерные науки.
Курс ставит своей целью познакомить студентов с аппаратом геометрической теории функций и её применении к теории римановых поверхностей, гиперболических многообразий и теории фракталов. Важное место в курсе занимает теория мебиусовых отображений и их метрических аналогов. Это позволяет перенести классические теоремы из комплексного анализа на произвольные метрические пространства.
Курс рассчитан на 2 семестра и включает 60 часов лекционных занятий.
Содержание курса:
Сингулярное разложение матрицы линейного преобразования. Главные растяжения и отклонения линейного преобразования. Основные свойства и техника вычисления главных растяжений и отклонений. Свойство полумультипликативности отклонений.
Определение коэффициентов квазиконформности диффеоморфизмов.
Квазиконформные отображения на плоскости.
Стереографическая проекция и мебиусовы преобразования. Теорема Лиувилля о конформных преобразованиях в пространстве размерности больше двух. Задача Альфорса-Берлинга о продолжении гомеоморфизма вещественной оси до квазиконформного автоморфизма верхней полуплоскости. Определение квазисимметрической функции по Келингосу.
Метрическое определение квазиконформности для гомеоморфизмов пространственных областей (по Маркушевичу-Песину) и его геометрический смысл.
Абсолютно непрерывные функции одной переменной. Абсолютно непрерывные вектор-функции. Определение класса ACT функций и отображений, абсолютно непрерывных по Тонелли. Определение функций классов ACL и ACLn. Дифференциальные свойства функций и отображений класса ACLn пространственных областей. Аналитическое определение квазиконформности пространственного отображения.
Теорема об эквивалентности метрического и аналитического определений квазиконформности. Основные свойства квазиконформных отображений (теоремы сходимости и компактности).
Понятие модуля семейства кривых. Понятие пространственного конденсатора и его конформной емкости. Теорема Шлыка о совпадении емкости конденсатора и модуля семейства кривых, соединяющих его пластины. Свойство квазиинвариантности емкости конденсатора.
Геометрическое определение квазиконформности гомеоморфизма пространственных областей. Теорема об эквивалентности геометрического и аналитического определений квазиконформности.
Примеры на вычисление конформной емкости конденсаторов. Основные свойства конформной емкости. Симметризация конденсаторов (упрощенная схема) и основная теорема о симметризации. Лемма Вяйсяля. Экстремальный конденсатор Тейхмюллера и функция Тейхмюллера. Их использование для получения нижних оценок конформной емкости конденсаторов со связными пластинами.
Квазисимметрические отображения метрических пространств. Элементарные свойств квазисимметрических отображений. Связь квазисимметрических и квазиконформных отображений пространства Rn; взаимные оценки функции искажения и коэффициентов квазиконформности.
Теорема Вуоринена об асимптотически точной оценке функции искажения через коэффициент квазиконформности, не зависящей от размерности пространства.
Абсолютное двойное отношение тетрад в метрическом пространстве. Мебиуова инвариантности абсолютного двойного отношения. Геометрические критерии мебиусовости в терминах абсолютного двойного отношения.
Квазимебиусовы отображения метрических пространств. Их связь с квазисимметрическими и квазиконформными отображениями. Локализация классов квазисимметрических и квазимебиусовых отображений.
Совпадение понятий квазиконформности отображения области в Rn и локальной квазимебиусовости с единой функцией искажения.
Графическая сходимость отображений. Основная теорема сходимости последовательностей ω-квазимебиусовых вложений с компактными носителями. Нормальные и компактные семейства топологических вложений метрических пространств. Основная теорема об ω-квазимебиусовости любого нормального мебиусово инвариантного семейства топологических вложений.
Постановка задачи о продолжении квазимебиусова отображения компакта в Rn до квазиконформного автоморфизма всего пространства. Критерий Рикмана продолжения квазимебиусова гомеоморфизма границ плоских жордановых областей до квазиконформного отображения этих областей.
Кривые и дуги с ограниченным искривлением. Теорема Тукиа-Вяйсяля о квазисимметрическом распрямлении дуги с ограниченным искривлением.
Задача Тейхмюллера о квазиконформном продолжении отображения тетрады на плоскости в заданном гомотопическом классе отображений. Понятие квазиконформной выпуклости жордановой области по Асееву. Теорема Асеева о квазиконформном продолжении квазимебиусова гомеоморфизма плоской квазиконформно выпуклой области.
Теорема Варисова о квазиконформном продолжении квазимебиусова отображения с плоского криволинейного многоугольника, стороны которого имеют ограниченное искривление.
Проблемы квазиконформного продолжения ω-квазимебиусовых вложений с семейства областей.
Обзор дальнейших направлений развития общей теории отображений.
ЛИТЕРАТУРА
Белинский П.П.: Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974.
Сычев А.В.: Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983.
Решетняк Ю.Г.: Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.
Альфорс Л.: Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969.
Асеев В.В.: Квазисимметрические вложения. Итоги науки и техники, сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Том 75, Комплексный анализ и теория представлений - 3. М.: ВИНИТИ, 2000.
Асеев В.В.: Квазиконформные отображения и емкости конденсаторов: учебно-методическое пособие. Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2009, 80 с.
Lehto O., Virtanen K. I.: Quasiconformal mappings in the plane. Die Grundlehren der math. Wissenschaften, Vol. 126, Second ed., Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1973.
Väisälä J.: Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings. Lect. Notes in Math., Vol.229, Springer-Verlag, Berlin – Heidelberg - New York, 1971.
Heinonen J.: Lectures on analysis on metric spaces. Universitext, Springer-Verlag New York- Berlin- Heidelberg, 2001.
Vuorinen M.: Conformal geometry and quasiregular mappings. Lect. Notes in Math., Vol. 1319, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg- New York - London – Paris - Tokyo, 1099, 209 pp.
Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач.
Автор: д.ф.-м.н., профессор С.И. Кабанихин.
Курс рассчитан на студентов 3-4 курсов механико-математического факультета НГУ, обучающихся по направлениям математика и математика и компьютерные науки.
Курс ставит своей целью познакомить студентов с аппаратом геометрической теории функций и её применении к теории римановых поверхностей, гиперболических многообразий и теории фракталов. Важное место в курсе занимают теоремы существования и единственности решения прямой и обратной задачи для уравнения математической физики. Особое внимание уделено вычисление градиента целевого функционала для обратной задачи для уравнения колебаний струны. Детально объясняется метод обращения разностных схем.
Курс рассчитан на 2 семестра и включает 60 часов лекционных занятий.
Содержание курса:
Корректные, некорректные и условно-корректные задачи. Множество корректности. Условная устойчивость.
Примеры некорректных задач - дифференцирование, задача Коши для уравнения Лапласа, задача для уравнения теплопроводности с обратным временем, интегральные уравнения первого рода, операторные уравнения Aq=f с компактным оператором А. Томография.
Методы регуляризации А.Н. Тихонова и М.М. Лаврентьева. Дискретная и итеративная регуляризация.
Теорема о непрерывности обратного оператора. Квазирешение. Теорема В.К. Иванова.
Теорема о сингулярном разложении матриц. Метод С.К. Годунова регуляризации систем линейных алгебраических уравнений.
Теорема Гильберта-Шмидтаа.
Компактные операторы в сепарабельных гильбертовых пространствах и их свойства. Сингулярное разложение компактного оператора. Операторное уравнение первого рода Aq=f. Критерий разрешимости Пикара.
Производная Фреше. Целевой функционал J(q)= и его градиент J’q. Выражение для градиента J’q = 2[A’q]*(Aq-f).
Условия единственности стационарной точки целевого функционала.
Прямая и обратная задача для уравнения колебаний струны. Теоремы существования и единственности решения прямой и обратной задачи для уравнения колебаний струны. Вычисление градиента целевого функционала для обратной задачи для уравнения колебаний струны. Метод обращения разностной схемы.
Обратная задача акустики и методы ее решения.
Сходимость по функционалу метода простой итерации и метода наискорейшего спуска. Оценка скорости сходимости по функционалу метода простой итерации и метода наискорейшего спуска.
Модуль непрерывности обратного оператора и оценка условной устойчивости.
Задача Коши для уравнения теплопроводности с обратным временем. Оценка условной устойчивости.
Задача Коши для уравнения Лапласа. Оценка условной устойчивости.
Сильная сходимость метода наискорейшего спуска.
Метод линеаризации.
Метод Ньютона-Канторовича.
Метод Гельфанда-Левитана-Крейна.
ЛИТЕРАТУРА К СПЕЦКУРСУ
Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Сибирское научное издательство, 2009.
М.М. Лаврентьев и Л.Я. Савельев. Теория операторов и некорректные задачи. ИМ СО РАН, 1999.
Теория узлов и зацеплений. Гиперболические многообразия
Автор: д.ф.-м.н., профессор Медных А.Д.
Курс расчитан на студентов 3-4 курсов механико-математического факультета НГУ, обучающихся по направлениям математика и математика и компьютерные науки.
Курс ставит своей целью усвоение студентами понятий, связанных с теорией римановых поверхностей, трехмерных гиперболических многообразий и с теорией орбифолдов, частным случаем которых является геометрическая теория узлов и зацеплений.
Данный курс знакомит студентов с основами теории гиперболических многообразий размерности 2 и 3. При этом, все определения даются, как минимум, на трех языках: теории функций, теории дискретных групп и римановой геометрии. Отмечаются тесные взаимосвязи между указанными подходами. Для установления результатов теории используется несколько основных методов. Во-первых, таковыми методами являются фундаментальные теоремы из классического и многомерного комплексного анализа, описывающие структуру комплексных и вещественно аналитических многообразий. Во-вторых, необходимы глубокие результаты из теории дискретных групп, описывающие строение групп изометрий на плоскости и в пространстве Лобачевского. И в-третьих, существенную роль оказывают топологические теоремы, классифицирующие трехмерные многообразия по типам существующих на них геометрий. Значительное внимание уделяется эффективной практике применения современных компьютеров и современных компьютерных программ для вычисления основных геометрических инвариантов указанных многообразий.
Курс рассчитан на 2 семестра и включает 60 часов лекционных занятий.
Содержание курса:
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА УЗЛА
Представление Вертингера фундаментальной группы узла
Геометрические структуры на узлах и зацеплениях
Геометрические структуры на узлах с мостами и графах
ТРЕХМЕРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ ТЕРСТОНА И ТЕОРИЯ УЗЛОВ
Гиперболическая геометрия на узлах
Сферическая геометрия на узлах
Евклидова геометрия на узлах
Фундаментальные множества узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны
Тригонометрия узлов и зацеплений
Торические узлы и зацепления
Классификация двухмостовых узлов и зацеплений
Узлы и зацепления в других трехмерных геометриях
ОБЪЕМЫ КОНИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ НА УЗЛАХ И ЗАЦЕПЛЕНИЯХ
Гиперболические, сферические и евклидовы объемы
Зацепление Хопфа
Узел Трехлистник
Узел Восьмерка
Эллиптические орбифолды
Зацепление Уайтхеда
Гиперболическая геометрия
Зацепление Борромеевы кольца
ЛИТЕРАТУРА
R. Riley, An elliptical path from parabolic representations to hyperbolic structure. // Topology of Low--Dimension manifolds, LNM, 722, Springer--Verlag, 1979. -- P. 99—133.
R. Kellerhals, On the volume of hyperbolic polyhedra. // Math. Ann., 285, 1989. -- P. 541—569.
Э. Б. Винберг, Геометрия--2. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, том 29, 1988.
C. D. Hodgson, Schlafli revisited: Variation of volume in constant curvature spaces. // Preprint.
А. Д. Медных, М. Г. Пашкевич, Элементарные формулы для гиперболического тетраэдра. // Сиб. матем. журн., 47 (4), 2006, -- C. 831—841.
J. Milnor, Hyperbolic geometry: the first 150 years. // Bull. Amer. Math. Soc., 6 (1), 1982, -- P. 9—24.
Д. А. Деревнин, А. Д. Медных, М. Г. Пашкевич, Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах. // Сиб. матем. журн., 45 (5), 2004, -- C. 1022—1031.
П. Скотт, Геометрии на трехмерных многообразиях, М.: Мир, 1986, 168 с.
У. Терстон, Трехмерная геометрия и топология, Изд-во. МЦНМО, 2001, 310 с.
|
