Курсы кафедры дифференциальных уравнений 34 Курсы кафедры математического анализа 64
Скачать 1.65 Mb.
|
| Тема 4. Формальное определение матричной функции Грина как обобщенное решение краевой задачи для матричного уравнения. Дельта-функция. Физическая интерпретация решения. Пример определения матричной функции Грина краевой задачи на конечном отрезке. Физическая интерпретация функции Грина. Раздел 3. О численных методах решения линейных краевых задач. Тема 1. Приведение двухточечной краевой задачи к серии задач Коши. Проблема «сплющивания» базисных решений. Метод ортогональной прогонки С.К. Годунова. Серии задач Коши в методе «стрельбы». Проблема «сплющивания» базисных решений. Пример некорректного применения метода стрельбы для решения хорошо обусловленной краевой задачи. Ортогонализация Грама-Шмидта. Метод ортогональной прогонки. Тема 2. Метод множественной стрельбы как вариант ортогональной прогонки. Метод стрельбы и проблема сплющивания базисных решений. Метод множественной стрельбы. Раздел 4. Нелинейные краевые задачи на конечном отрезке. Тема 1. О численном исследовании решения нелинейной краевой задачи в зависимости от параметров модели. Множественность решений как типичное проявление нелинейности проблемы. Примеры нелинейных краевых задач с точным решением, иллюстрирующих природу множественности решений. Формулировки нелинейных краевых задач. Геометрическая интерпретация. Нелинейные эффекты, как отражение реальных физических процессов, моделируемых краевой задачей. О численном исследовании нелинейных краевых задач. Примеры нелинейных краевых задач, имеющих точное решение, которые иллюстрируют нелинейные эффекты. Множественность решений и петля гистерезиса. Тема 2. Численное решений нелинейных краевых задач методом Ньютона (методом квазилинеаризации). Определение хорошей обусловленности нелинейной краевой задачи. Теорема о сходимости итераций по методу Ньютона. Определение хорошей обусловленности нелинейной краевой задачи. Метод Ньютона. Определение Ω-окрестности решения. Квадратичная сходимость итераций. Тема 3. Метод стрельбы и метод множественной стрельбы. Метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений. Дифференцируемость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам. Редукция краевой задачи к системе нелинейных уравнений относительно сеточных значений решения краевой задачи и её решение методом Ньютона. О решении системы нелинейных уравнений методом Ньютона. Дифференцируемость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам. Метод стрельбы. Метод множественной стрельбы. Раздел 5. Численное исследование решения системы нелинейных уравнений в зависимости от параметра. Тема 1. Системы нелинейных уравнений с параметром. Теорема о неявной функции. Методы продолжения решения по параметру для построения гладкой пространственной кривой, определяемой системой нелинейных уравнений. Теорема о неявной функции. Применение метода Ньютона при продолжении решения по параметру. Продолжение решения по параметру как задача Коши. Тема 2. Продолжение решения по текущим параметрам для построения гладкой пространственной кривой, содержащий особые точки типа «поворот». Выбор текущего параметра с использованием параметризации. Продолжение решения по длине дуги. Теорема о неявной функции и параметризация. Продолжение решения по текущему параметру. Численное построение интегральной кривой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, представляющей зависимость решения системы нелинейных от параметра. Продолжение решения по длине дуги пространственной кривой, определяемой системой нелинейных уравнений. Метод Кубичека. Раздел 6. Численное исследование решения нелинейных краевых задач. Метод продолжения решения по параметру Тема 1. Продолжение решения по параметру в методе множественной стрельбы. Система нелинейных уравнений относительно сеточных значений решения, определенная на решениях серии задач Коши. Серия задач Коши, необходимая для реализации метода продолжения по параметру. Продолжение решения по параметру Тема 2. Дискретная модель нелинейной краевой задачи, основанная на сплайн-коллокации. Метод сплайн-коллокации. Формулировка дискретной модели. Адаптация сетки. Тема 3. Дискретные модели нелинейных интегральных уравнений. Примеры представления нелинейной краевой задачи в виде нелинейного интегрального уравнения с использованием функции Грина. Использование интерполяционных кубических сплайнов класса C2 при формулировке дискретной модели нелинейного интегрального уравнения. Система линейных алгебраических уравнений, определяющая фундаментальные кубические сплайны. Тема 4. Численные примеры. Модель пленочного электростатическое реле. Стационарные режимы работы каталитического реактора с кипящим слоем. Краевая задача, описывающая зависимость предельного цикла осциллятора Ван дер Поля от параметра. Заключение. Демонстрация работы комплекса программ на примерах нелинейных краевых задач. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы. Примерный вариант экзаменационных билетов. Билет 1. 1. Условия, определяющие матричную функцию Грина краевой задачи  . Понятие хорошей обусловленности. 2. Метод множественной стрельбы для решения нелинейной краевой задачи  Билет 2. 1. Понятие хорошей обусловленности нелинейной краевой задачи Метод квазилинеаризации (метод Ньютона). 2.Условия, определяющие функцию Грина краевой задачи для уравнения высокого порядка    Представление нелинейной краевой задачи   в виде нелинейного интегрального уравнения. Билет 3. 1. Условия однозначной разрешимости линейной краевой задачи .Метод множественной стрельбы. 2. Уравнения для вариаций задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений. Билет 4. 1. Метод ортогональных прогонок С.К.Годунова решения линейной краевой задачи   2. Метод Кубичека для численного исследования зависимости решения системы нелинейных уравнений с параметром. Билет 5. 1. Использование интерполяционных кубических сплайнов при формулировке дискретной модели нелинейного интегрального уравнения.  где  функция Грина линейной краевой задачи 2. Метод продолжения решения с параметризацией для численного исследования зависимости решения системы нелинейных уравнений от параметра. Билет 6. 1.Использование метода сплайн-коллокации для построения дискретной модели нелинейной краевой задачи  2. Метод продолжения решения системы нелинейных уравнений по параметру как задача Коши. Билет 7. 1.Различные типы краевых условий линейной краевой задачи Привести выражения условий, определяющих соответствующие матричные функций Грина. 2. Формулировка краевой задачи, определяющей производную решения краевой задачи  по параметру q. Применение метода множественной стрельбы для определения производной решения краевой задачи по параметру q. Билет 8. 1.Определить функцию Грина краевой задачи:  Далее, записать интегральное представление краевой задачи  Чем характеризуется зависимость решения краевой задачи от параметра q? 2. Теорема о неявной функции и параметризация в методе продолжения по параметру решения системы из n нелинейных уравнений  при выполнения условия  .Билет 9. 1. Метод стрельбы и метод множественной стрельбы решения краевой задачи 2. Продолжение по параметру решения системы из n нелинейных уравнений как задача Коши при выполнении условия .Билет 10. 1. Понятие «возмущенной» линейной краевой задачи. Теорема о непрерывной зависимости решения линейной краевой задачи от параметров. Использование теоремы в определении Ω-окрестности в методе Ньютона (квазилинеаризации) для решения нелинейной краевой задачи. 2. Примеры физической интерпретации множественности решения нелинейной краевой задачи с параметром. Список основной и дополнительной литературы.
Специальные функции и элементы аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений Автор: Кожанов Александр Иванович, д.ф.-м.н., профессор ММФ НГУ Курс ставит своей целью изучение классических результатов теории специальных функций, специальных дифференциальных уравнений, а также сведений о современных аспектах теории неклассических дифференциальных уравнений. В первой части курса излагаются некоторые сведения из функционального анализа, необходимые для изучения основных разделов лекционного курса. В частности, излагаются некоторые сведения из теории гильбертовых пространств (ряды Фурье в гильбертовом пространстве, теорема Рисса, теорема Гильберта-Шмидта), изучаются свойства обобщенных производных. Во второй части курса излагаются классические результаты о свойствах основных специальных функций (функций Бесселя, Неймана и других), изучаются свойства классических ортогональных многочленов. В третьей части курса излагается теория краевых задач для неклассических обыкновенных дифференциальных уравнений как второго, так и более высокого порядка. В четвертой части курса даются некоторые приложения изложенных ранее результатов. Тематический план курса:
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Образцы упражнений для самостоятельной работы. 1. Как ставится корректная краевая задача для уравнений  при  в случае функции  , меняющей знак?2. В каком случае гипергеометрическое уравнение сводится к уравнению Лежандра? (выполнить соответствующее преобразование) 3. Как ставится краевая задача для уравнений  в случае а) неотрицательной функции  ? б) функции произвольного знака? 4. Разложить функцию  в ряд по многочленам Лежандра.5. Всегда ли обобщенные решения являются гладкими функциями? Для контроля усвоения лекционного материала предусмотрен экзамен по окончании курса. Ниже прилагаются образцы вопросов для подготовки к экзамену.
порядка с неотрицательной характеристической формой. Обобщенные решения.
порядка с характеристической формой произвольного знака. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература:
М.: Наука, 1984.
б) дополнительная литература:
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
Введение в теорию соболевских пространств Автор: Матвеева Инесса Изотовна, к.ф.-м.н., доцент ММФ НГУ Курс ставит своей целью изучение классических результатов из теории соболевских пространств, необходимых при изучении курсов по дифференциальным уравнениям с частными производными и уравнениям математической физики. В курсе обсуждается понятие обобщенной производной, изучаются свойства суммируемых функций, доказываются теоремы вложения, вводится понятие следа функций из соболевских пространств. Изучаются основные свойства операторов усреднения, Фурье и псевдодифференциальных операторов. Тематический план курса:
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Ниже прилагаются образцы упражнений для самостоятельной работы.
Для контроля усвоения лекционного материала предусмотрен экзамен по окончании курса. Ниже прилагаются образцы вопросов для подготовки к экзамену.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература:
б) дополнительная литература:
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
Гиперболические системы законов сохранения Автор: Проф., д.ф.-м.н. В.В. Остапенко Годовой курс лекций «Гиперболические системы законов сохранения» предназначен для студентов 3-5 курса и аспирантов механико-математического факультета. Основной целью его освоения является изучение теории гиперболических систем законов сохранения и ее приложение к теории мелкой воды. Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:
По окончании изучения указанной дисциплины студент должен
Для контроля усвоения курса учебным планом предусмотрен экзамен по окончании курса. В течение семестра студентам предлагается самостоятельно решать некоторые возникающие по ходу чтения курса задачи с последующим их разбором и анализом встречающихся трудностей и ошибок. Тематический план курса: 1. Классические решения гиперболической системы уравнений. Определение гиперболической системы уравнений, ее характеристическая и инвариантная формы записи. Решение задачи Коши для линейной гиперболической системы. Простые и центрированные волны, примеры их построения. Решение задачи Коши для нелинейного уравнения переноса с кусочно-линейными начальными данными. 2. Обобщенные решения гиперболической системы законов сохранения. Законы сохранения, допускаемые квазилинейной гиперболической системой. Определения обобщенного и слабого решения. Условия Гюгонио на сильных разрывах. Устойчивые ударные волны. Метод вязкости определения устойчивых обобщенных решений. Несовместность на сильных разрывах различных дивергентных форм записи гиперболической системы. 3. Скалярный закон сохранения с выпуклым потоком. Выпуклые множества и функции и их свойства. Энтропийный критерий устойчивости для скалярного закона сохранения с выпуклым потоком. TVD-свойство обобщенного скалярного решения. Метод потенциала построения обобщенного решения. Асимптотика финитного и периодического скалярного решения. 4. Полные системы законов сохранения с выпуклым расширением. Многомерные выпуклые функции. Преобразование Лежандра. Потенциальные отображения. Замыкающий закон сохранения и симметризация гиперболической системы. Выпуклое расширение и критерий корректности полной системы законов сохранения. Энтропийный критерий устойчивости ударных волн в сильно нелинейной гиперболической системе. Задача распада разрыва в сильно нелинейной гиперболической системе. 5. Системы законов сохранения уравнений мелкой воды. Вывод дифференциальных уравнений теории мелкой воды из уравнений непрерывности и Эйлера и из интегральных законов сохранения массы и полного импульса. Гиперболическая и инвариантная форма записи этих уравнений. Законы сохранения, допускаемые уравнениями мелкой воды. Условия Гюгонио для уравнений мелкой воды, устойчивые прерывные волны. Центрированные волны понижения. Симметризация уравнений мелкой воды. Задача распада разрыва в мелкой воде. Учебно-методическое обеспечение курса. Перечень примерных заданий для самостоятельной работы. – выписать решение задачи Коши для линейной гиперболической системы; – построить общее решения системы уравнений акустики; – для нелинейного уравнения переноса построить точное решение задачи Коши с различными конкретными кусочно-линейными начальными данными; – получить характеристическую и инвариантную формы записи уравнений мелкой воды; – построить различные законы сохранения, допускаемые уравнениями мелкой воды; – исследовать совместность на ударных волнах различных систем законов сохранения мелкой воды; – выделить корректную полную систему законов сохранения для уравнений мелкой воды; – получить различные симметрические формы записи для уравнений мелкой воды; – решить задачу о «разрушении плотины». Образцы вопросов для подготовки к экзамену. 1. Определение гиперболической системы дифференциальных уравнений. Ее гиперболическая и инвариантная формы записи. 2. Законы сохранения. Обобщенные и слабые решения. Условия Гюгонио. 3. Асимптотика финитного и периодического скалярного решений. 4. Полные системы законов сохранения с выпуклым расширением. 5. Системы законов сохранения уравнений мелкой воды. 6. Задача распада разрыва в мелкой воде. Список основной и дополнительной литературы. Основная литература: 1. Остапенко В.В. Гиперболические системы законов сохранения и их приложение к теории мелкой воды (курс лекций) . Новосибирский государственный университет. Новосибирск, 2004. 2. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 3. Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. Philadelphia: SIAM, 1972. Дополнительная литература:
Устойчивость решений дифференциальных уравнений Лектор: к.ф.-м.н., доц. А.С. Рудомётова. Полугодовой альтернативный спецкурс "Устойчивость решений дифференциальных уравнений" предназначен для студентов четвертого-шестого курсов и аспирантов механико-математического факультета. Основной целью курса является углубленное изучения студентами и аспирантами теории устойчивости по Ляпунову. Хорошее владение материалом курса предполагает понимание основных положений теории, умение применить изученные методы для решения других, возможно, более сложных чем уже рассмотренные, задач. По окончании изучения указанной дисциплины студент должен - иметь представление о месте и роли изучаемой дисциплины среди других наук; - знать основные определения и теоремы курса, владеть изученными методами; - уметь применять полученные знания для решения не только типичных, но и новых задач. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрен зачет. Тематический план курса:
Учебно-методическое обеспечение дисциплины Вопросы для подготовки к экзамену практически совпадают с программой курса "Устойчивость решений дифференциальных уравнений ". Список основной и дополнительной литературы.
Линейные и нелинейные эволюционные уравнения математической физики Автор: доцент кафедры дифференциальных уравнений НГУ, д.ф.-м.н. Трахинин Ю.Л. Обязательный годовой специальный курс “Линейные и нелинейные эволюционные уравнения математической физики” предназначен для студентов механико-математического факультета университета, специализирующихся на кафедре дифференциальных уравнений. Слушателями курса могут быть также магистранты и аспиранты механико-математического факультета университета. Основной целью освоения курса является понимание студентом основных идей и методов линейной и нелинейной теории эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными, умение при-менить изученные методы для других задач. Для достижения этой цели выделяются задачи курса: - усвоение принципиальных моментов теории, к которым относятся: понятия локального и глобального по времени существования слабых, сильных и классических решений линейных и нелинейных эволюционных уравнений математической физики, основные теоре-мы вложения Соболева, слабое и равномерное условие Лопатинс-кого, симметризатор Крайса, понятие слабой корректности началь-но-краевых задач математической физики и т.д. - изучение основных методов теории, к которым относятся: спектральный и “энергетический” методы, метод “слабое = силь-ное”, метод симметризатора Крайса, применение мультипликатив-ных неравенств типа Мозера, применение принципа сжимающих отобра-жений, метод Нэша-Мозера и др. В результате изучения курса студент должен: - иметь представление о возможных обобщениях основных теоретических положений и о границах применимости того или иного метода. - знать основные определения и теоремы курса, владеть изученными методами. - уметь применять (в рамках границ применимости) изученные методы для нерассмотренных в курсе конкретных эволюционных уравнений мате-матической физики. Для контроля усвоения курса учебным планом предусмотрен экзамен в конце курса В конце первого семестра организуется коллоквиум. Тематический план курса:
Учебно-методическое обеспечение курса. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы. 1. На примере задачи Коши для гиперболической системы законов сохранения рассказать основную идею метода сжимающих отобра-жений для доказательства существования и единственности реше-ний. 2. Из неравенсва Гальярдо-Ниренберга и теоремы вложения Соболева вывести одно из неравенств типа Мозера. 3. Дать определение слабого решения для линейной задачи Коши для гиперболической системы и рассказать идею доказательства его существования. 4. Доказать, что условия Лакса гарантируют правильное число гра-ничных условий на ударной волне. 5. Сформулировать основные идеи метода Нэша-Мозера. Образцы вопросов для подготовки к экамену. 1. Симметризация гиперболических законов сохранения. 2. Метод симметризатора Крайса. 3. Неравенство Гальярдо-Ниренберга и его следствия. 4. Теорема существования Вольперта-Худяева-Като. 5. Слабо корректные задачи. Априорные оценки с потерей производных. 6. Метод Нэша-Мозера. 7. Метод “слабое решение = сильное решение”. Список литературы. ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Блохин А.М., Трахинин Ю.Л. Устойчивость сильных разрывов в магнитной гидродинамике и электрогидродинамике. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. |
,
. Определение и свойства средних функций.
в 
. Преобразование Фурье. Формула Фурье, равенство Парсеваля.
и 
. Теорема Римана – Лебега, теорема Планшереля. Неравенство Юнга. Преобразование Фурье свертки функций.
и 
. Полнота пространства 
и 
. Теоремы о продолжении функций из 
в 
. Критерий принадлежности функций пространству 
.
в области 
, 
. Найти их.
тогда и только тогда, когда 
и 
и 
. Похожие:
 | Решение дифференциальных уравнений с помощью прикладного пакета Mathematica Соискатель кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа Малышева Ольга Николаевна | | Выпускная работа по «Основам информационных технологий» После того как Ньютон решил задачу Кеплера, теория дифференциальных уравнений стала одним из основных инструментов математического... |
| Курсы повышения квалификации за пределами школы, дистанционные курсы,... Обж и музыки, оснащены ноутбуками, мультимедийными проектороми и экранами на треноге | | Радиофизический факультет Цель дисциплины – ознакомление с фундаментальными понятиями и методами исследования обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений... |
| Развития и торговли Российской Федерации Бурятский республиканский педагогический колледж предлагает слушателям: стационарные курсы и семинары (на базе колледжа), выездные... | | Анализ работы кафедры физической культуры и спорта за 2010-2011 учебный год В этом учебном году прошли курсы повышения квалификации три преподавателя кафедры: Зикрань Ф. З., Смирнов М. О. и Осокин В. А. На... |
| Кафедра статистики, эконометрики и естествознания Программа учебной дисциплины Бурятский республиканский педагогический колледж предлагает слушателям: стационарные курсы и семинары (на базе колледжа), выездные... |  | План проспект курсов повышения квалификации педагогических работников... Бурятский республиканский педагогический колледж предлагает слушателям: стационарные курсы и семинары (на базе колледжа), выездные... |
| Рабочей программы дисциплины дв «Избранные главы теории дифференциальных... Изучение дисциплины способствует формированию математической культуры магистрантов; умению строить математические модели наблюдаемых... | | Учебно-методический комплекс курсы по выбору направление подготовки: 030801. 65 «Религиоведение» Умкд разработан в 2008 г к и н., доцентом кафедры отечественной истории кгпу им. В. П. Астафьева к и н., доцентом И. Н. Ценюга, актуализирован... |
| Высшие дипломатические курсы Курсы «Повышение профессиональной квалификации» для молодых специалистов, принятых на работу | | Элективные курсы Рецензент: Петрович В. Г., к и н., доцент кафедры гуманитарно-художественного образования гоу дпо «Сарипкипро» |
| Технологии физкультурно-спортивной деятельности смоленск 2009 Итоговая форма контроля – 3, 5 курсы дифференцированный зачет; 4, 6 курсы экзамен | | Особенности преподавания профильных элективных курсов по биологии.... Элективные курсы в профильных классах — это обязательные для изучения курсы для учащихся |
| Вопросы к зачету Дополнения и изменения, внесенные в рабочую программу «Элективные курсы по физической культуре», утверждены на заседании кафедры... | | Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий. Элективные... Макарцева Л. В., к г н., доцент кафедры экономической географии сгу им. Н. Г. Чернышевского |
