Курсы кафедры дифференциальных уравнений 34 Курсы кафедры математического анализа 64

Скачать 1.65 Mb.

Название	Курсы кафедры дифференциальных уравнений 34 Курсы кафедры математического анализа 64
страница	3/14
Дата публикации	07.07.2015
Размер	1.65 Mb.
Тип	Документы

100-bal.ru > Математика > Документы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 14

Курсы кафедры геометрии и топологии
Алгебраическая топология.

Автор: д.ф.-м.н. Базайкин Я.В.
Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с гомотопической топологией, теорией гомологий, топологией клеточных комплексов и многообразий. Первая часть курса содержит базовые понятия общей топологии, определение и свойства фундаментальной группы, теорема Ван Кампена, точная последовательность расслоения, теорема Фрейденталя, пространства Эйленберга-Маклейна. Вторая часть содержит определения разных гомологий и когомологий, доказательство их эквивалентности, двойственность Пуанкаре, мультипликативные структуры на когомологиях, спектральную последовательсть.
Тематический план курса:

Топология. Непрерывное отображение. Понятие функтора, примеры топологических инвариантов: число компонент связности, фундаментальная группа.
Фундаментальная группа, ее определение и свойства. Фундаментальная группа окружности, теорема Брауэра о неподвижной точке.
Накрытия. Теорема о накрывающей гомотопии. Накрытие и фундаментальная группа. Универсальные накрытия, существование универсальных накрытий. Регулярные накрытия и действия групп.
Высшие гомотопические группы, их свойства. Высшие гомотопические группы и накрытия. Относительные гомотопические группы.
Локально тривиальные расслоения. Теорема о накрывающей гомотопии. Лемма Фельдбау. Расслоения в смысле Серра. Точная гомотопическая последовательность расслоения
Умножение Уайтхеда в гомотопичесих группах. Теорема Фрейденталя о надстройке. n-Мерная гомотопическая группа n-мерной сферы.
Слабая и сильная гомотопическая эквивалентности. Теорема Уайтхеда.
Комплекс сингулярных цепей. Сингулярные гомологии, их гомотопическая инвариантность.
Относительные группы гомологий. Точная последовательность пары, тройки. Последовательность Майера-Виеториса.
Клеточный и симплициальный комплексы, клеточные и симплициальные (относительные) гомологии. Совпадение клеточных и сингулярных гомологий.
Когомологии. Умножение в когомологиях.
Формула Кюннета, формула универсальных коэффициентов.
Гомологии и многообразия, степень отображения, индекс пересечения, коэффициент зацепления.
Теория препятствий
Спектральная последовательность Лере, спектральная последовательность расслоения.
Умножение в спектральной последовательности расслоения, трансгрессия, некоторые приложения.

Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

Экзаменационные темы

Топология. Непрерывное отображение. Понятие функтора, примеры топологических инвариантов: число компонент связности, фундаментальная группа.
Фундаментальная группа, ее определение и свойства.
Фундаментальная группа окружности, теорема Брауэра о неподвижной точке.
Накрытия. Теорема о накрывающей гомотопии.
Накрытие и фундаментальная группа.
Универсальные накрытия, существование универсальных накрытий.
Регулярные накрытия и действия групп.
Высшие гомотопические группы, их свойства. Высшие гомотопические группы и накрытия.
Относительные гомотопические группы.
Локально тривиальные расслоения. Теорема о накрывающей гомотопии. Лемма Фельдбау.
Расслоения в смысле Серра. Точная гомотопическая последовательность расслоения.
Умножение Уайтхеда в гомотопичесих группах.
Теорема Фрейденталя о надстройке. n-Мерная гомотопическая группа n-мерной сферы.
Слабая и сильная гомотопическая эквивалентности. Теорема Уайтхеда.
Комплекс сингулярных цепей. Сингулярные гомологии, их гомотопическая инвариантность.
Относительные группы гомологий. Точная последовательность пары, тройки.
Последовательность Майера-Виеториса.
Клеточный и симплициальный комплексы, клеточные и симплициальные (относительные) гомологии. Совпадение клеточных и сингулярных гомологий.
Когомологии. Умножение в когомологиях.
Формула Кюннета.
Формула универсальных коэффициентов.
Гомологии и многообразия, степень отображения, индекс пересечения, коэффициент зацепления.
Теория препятствий.
Спектральная последовательность Лере.
Спектральная последовательность расслоения.
Умножение в спектральной последовательности расслония.
Трансгрессия, некоторые приложения.

Список лит ературы

а) основная:

Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. – М.: Наука, 1989.

б) дополнительная:

Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. – М.: МЦНМО, 2005.
Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Переработанное издание. Том 2. – М.: Изд-во Эдиториал УРСС, 1998.

Вычислительная топология.

Автор: д.ф.-м.н. Базайкин Я.В.
Основная цель курса – сформировать у слушателей понятие о современных методах вычислительной топологии (, такими как: симплициальные комплексы, кубические комплексы, их гомологии; алгоритмы их вычисления, в том числе рекурсивные; персистентные гомологии) и сферах их применения в практической деятельности.
Содержание курса:

Понятие о клеточном, симплицальном, кубическом комплексах. Клеточные гомологии, симплициальные гомологии, кубические гомологии, их инвариантность, гомотопические свойства. Когомологии, группы гомологий и когомологий с коэффициентами. Числа Бетти, эйлерова характеристика. Примеры.
Нерв топологического пространства, топологические характеристики пространства через покрыия. Когомологии Чеха, их свойства.
Алгоритмы вычисления цепных комплексов, матриц инцидентности, чисел Бетти, групп гомологий и когомологий симплициальных и кубических коплексов. Роль кольца коэффициентов при алгоритмических вычислениях.
Топологическая характеризация множеств, заданных массивами случайных выборок: комплекс Чеха, комплекс Виеториса-Рипса. Алгоритмы вычисления чисел Бетти.
Семейства топологических пространств, заданные рекурсией (cutoff), примеры. Устойчивые гомологии (persistent homology), алгоритмы их вычисления, удаление «топологического шума».
Понятие о теории Морса на конечномерных многообразиях. Функции Морса, критические точки, градиентные поля, основная теорема теории Морса. Теория Морса на многообразиях с краем.
Дискретная теория Морса. Критические точки, опредленеие индекса критической точки. Точки бифуркации. Применение для эффективных вычислений чисел Бетти.
Теория Морса по Форману. Понятие Морсовской функции по Форману, критические точки, градиентные поля, основная теорема. Применения.

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Пример вопросов для проведения зачета:

Вычислить группу гомологий тора, проективной плоскости, бутылки Клейна.
Построить персистентную диаграмму фильтрации, заданной простейшей функцией от одной переменной.
Построить персистентную диаграмму фильтрации, заданной простейшей функцией от двух переменных.
Построить персистентные диаграммы облака точек.
Реализовать алгоритмы вычисления числа компонент связности.
Определить критические точки простейшей дискретной функции Морса на кубическом комплексе.

Список литературы

а) основная литература:

[1] H. Edelsbrunner and J. Harer. Computational Topology. An Introduction. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2010.
б) дополнительная литература

[1] Afra J. Zomorodian. Topology for Computing. Cambridge Monographs on Applied and Сomputational Mathematics. 2010.
Трехмерные гиперболические многообразия и орбифолды

Автор: чл.-корр. РАН Веснин А.Ю.
В теории трехмерных многообразий ключевым является класс многообразий, допускающих введение гиперболической геометрической структуры. Исследование трехмерных гиперболических многообразий предполагает сочетание геометрических, топологических и алгебраических методов. В рамках курса будет доказана теорема о фундаментальном многограннике, дающая представление фундаментальной группы; будут выведены формулы для объемов тетраэдров и других многогранников в пространстве Лобачевского, а также, для объемов некоторых многообразий и орбифолдов; будут приведены примеры построения гиперболических структур на дополнениях к узлам и зацеплениям. Будет описана структура множества объемом трехмерных гиперболических многобразий и установлены свойства этого множества.
Содержание курса:

Линейно связные пространства, гомотопия путей, фундаментальная группа пространства, фундаментальная группа окружности.
Порождающие и соотношения в группах. Амальгама.
Теорема Зейферта – ван Кампена.
Фундаментальная группа поверхности.
Фундаментальная группа дополнений к узам и зацеплений.
Группа классов отображений. Разбиение Хегора. Диаграмма Хегора.
Многообразий хегорова рода 0 и 1. Линзовые пространства.
Экваваиентность диаграмм Хегора. Род Хегора многообразия.
Многообразия Данвуди и их свойства.
Конические особенности превдомногообразий. Теорема Зейферта – Трельфаля. Построение многообразий из многогранников.
Линзовые пространства как результат склеивания многогранников.
Перестройки вдоль узлов и зацеплений. Преобразования Кирби.
Построения многообразий перестройками. Примеры.
Кристаллизации трехмерных многообразий. Эквивалентность кристаллизаций.
Задание многообразий спайнами.
Инварианты трехмерных мнообразий.
Трехмерные многообразия как разветвленные накрытия трехмерной сферы.

Вопросы, выносящиеся на экзамен:

Линейно связные пространства, гомотопия путей, фундаментальная группа пространства.
Фундаментальная группа окружности.
Свободные группы. Порождающие и соотношения в группах. Амальгамное произведение групп.
Теорема Зейферта – ван Кампена.
Фундаментальная группа поверхности.
Узлы и зацепления в трехмерной сфере. Фундаментальная группа дополнений к узлам и зацеплениям.
Группа классов отображений поверхности.
Разиение Хегора. Диаграмма Хегора.
Род Зегора многообразия. Многообразия хегорова рода 0 и 1.
Диаграммы Хегора линзовых пространств.
Эквивалентность диаграмм Хегора. Преобразования Зингера.
Многообразия Данудии и их свойства.
Построние многообразий из многогранников. Конические особенности псевдомногообразий. Теорема Зейферта – Трельфаля.
Линзовые пространства как результат склеивания многогранников.
Перестройки вдоль узлов и зацеплений. Преобрахования Кирби.
Построение многообразий перестройками. Примеры.
Кристаллиции трехмерных многообразий. Примеры.
Эквивалентность кристаллизаций.
Задание многообразий спайнами.
Инварианты трехмерных многообразий.
Трехмерые многообразий как разветвленные накрытия трехмерный сферы.
Топология многообразий и их геометризация.

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

Основная литература:

[1] Матвеев С.В., Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий. М.: МЦНМО, 2007. 456 с.

Дополнительная литература:

[2] Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. М.: МЦНМО, 2005.

[3] Зейферт Т., Трельфалль В. Топология. ГОНТИ 1938.

[4] Тёрстон У., Трехмерная геометрия и топология, М. 2001.

Геометрия, топология и их приложения (семинар).

Руководитель: акад. РАН Тайманов И.А.
Семинар носит исследовательский характер и посвящен изложению текущих результатов исследований в области геометрии, топологии и их приложениях авторами результатов, а также обзорам современных достижений ведущих специалистов. Ниже приведен адрес сайта семинара

http://math.nsc.ru/~taimanov/seminar/ru/

Инварианты трехмерных многообразий (семинар)

Руководитель: чл.-корр. РАН А.Ю. Веснин.
Научно-исследовательский семинар посвящен теории трехмерных многообразий. Среди основных вопросов, обсуждаемых на семинаре:

геометризация трехмерных многообразий и инварианты геометрических структур;
инварианты узлов и зацеплений в трехмерной сфере и других трехмерных многообразиях;
инварианты пространственных графов;
объемы и спектры длин трехмерных гиперболических многообразий;
действие групп на трехмерных многообразиях, группы изометрий многообразий, орбифолды;

На семинаре докладываются оригинальные работы участников семинара (в том числе, преподаватей, аспирантов и магистрантов кафедры геометрии и топологии и кафедры теории функций), а также, реферируются статьи по тематике семинара.
Литература:

Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М.: МЦНМО, 2001.
Кокстер Г.С.М. Неевклидова геометрия, 1969.

Интегрируемые системы (семинар)

Руководитель: д.ф.-м.н. А.Е. Миронов.
Научно-исследовательский семинар посвящен теории интегрируемых систем и их приложениям в геометрии. Среди основных вопросов, обсуждаемых на семинаре:

теория солитонов;
конечнозонные решения солитонных уравнений;
геодезические на поверхностях;
преобразования Дарбу и Мутара операторов Шредингера;
гамильтоновы системы;
методы обратной задачи рассеяния.

Литература:

В.И. Арнольд. Математические методы классической механики, 1989.
Мозер Ю. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория, 1999.
А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике.
Я.Г. Синай. Современные проблемы эргодической теории.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 14

	Решение дифференциальных уравнений с помощью прикладного пакета Mathematica Соискатель кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа Малышева Ольга Николаевна		Выпускная работа по «Основам информационных технологий» После того как Ньютон решил задачу Кеплера, теория дифференциальных уравнений стала одним из основных инструментов математического...
	Курсы повышения квалификации за пределами школы, дистанционные курсы,... Обж и музыки, оснащены ноутбуками, мультимедийными проектороми и экранами на треноге		Радиофизический факультет Цель дисциплины – ознакомление с фундаментальными понятиями и методами исследования обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений...
	Развития и торговли Российской Федерации Бурятский республиканский педагогический колледж предлагает слушателям: стационарные курсы и семинары (на базе колледжа), выездные...		Анализ работы кафедры физической культуры и спорта за 2010-2011 учебный год В этом учебном году прошли курсы повышения квалификации три преподавателя кафедры: Зикрань Ф. З., Смирнов М. О. и Осокин В. А. На...
	Кафедра статистики, эконометрики и естествознания Программа учебной дисциплины Бурятский республиканский педагогический колледж предлагает слушателям: стационарные курсы и семинары (на базе колледжа), выездные...		План проспект курсов повышения квалификации педагогических работников... Бурятский республиканский педагогический колледж предлагает слушателям: стационарные курсы и семинары (на базе колледжа), выездные...
	Рабочей программы дисциплины дв «Избранные главы теории дифференциальных... Изучение дисциплины способствует формированию математической культуры магистрантов; умению строить математические модели наблюдаемых...		Учебно-методический комплекс курсы по выбору направление подготовки: 030801. 65 «Религиоведение» Умкд разработан в 2008 г к и н., доцентом кафедры отечественной истории кгпу им. В. П. Астафьева к и н., доцентом И. Н. Ценюга, актуализирован...
	Высшие дипломатические курсы Курсы «Повышение профессиональной квалификации» для молодых специалистов, принятых на работу		Элективные курсы Рецензент: Петрович В. Г., к и н., доцент кафедры гуманитарно-художественного образования гоу дпо «Сарипкипро»
	Технологии физкультурно-спортивной деятельности смоленск 2009 Итоговая форма контроля – 3, 5 курсы дифференцированный зачет; 4, 6 курсы экзамен		Особенности преподавания профильных элективных курсов по биологии.... Элективные курсы в профильных классах — это обязательные для изучения курсы для учащихся
	Вопросы к зачету Дополнения и изменения, внесенные в рабочую программу «Элективные курсы по физической культуре», утверждены на заседании кафедры...		Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий. Элективные... Макарцева Л. В., к г н., доцент кафедры экономической географии сгу им. Н. Г. Чернышевского

Курсы кафедры дифференциальных уравнений 34 Курсы кафедры математического анализа 64

Похожие: