Курсы кафедры дифференциальных уравнений 34 Курсы кафедры математического анализа 64

Курсы кафедры дифференциальных уравнений

1. 
   Введение. Актуальность проблемы расширения понятия классического решения дифференциальных уравнений.
   
2. 
   Предварительные сведения и обозначения.
   
3. 
   Основные финитные, бесконечно-дифференцируемые функции. Теорема о разложении единицы.
   
4. 
   Пространство обобщенных функций и его основные свойства.
   
5. 
   Носитель обобщенной функции.
   
6. 
   Формулы Сохотского.
   
7. 
   Замена переменных и умножение обобщенных функций.
   
8. 
   Дифференцирование обобщенных функций.
   
9. 
   Первообразная обобщенной функции
   
10. 
    Примеры обобщенных функций.
    
11. 
    Прямое произведение обобщенных функций.
    
12. 
    Свертка обобщенных функций.
    
13. 
    Регуляризация обобщенных функций.
    
14. 
    Применение обобщенных функций в теории дифференциальных уравнений.
    
15. 
    Пространство основных быстро убывающих функций.
    
16. 
    Обобщенные функции медленного роста.
    
17. 
    Прямое произведение обобщенных функций медленного роста.
    
18. 
    Свертка обобщенных функций медленного роста.
    
19. 
    Преобразование Фурье основных быстро убывающих функций.
    
20. 
    Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста.
    
21. 
    Преобразование Фурье свертки обобщенных функций медленного роста
    
22. 
    Построение фундаментальных решений дифференциальных уравнений.
    

Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.

1.Основные финитные, бесконечно-дифференцируемые функции.

2.Теорема о разложении единицы.

3.Пространство обобщенных функций.

4.Носитель обобщенной функции.

5.Первая и вторая формулы Сохотского.

6.Замена переменных в обобщенных функциях.

7. Умножение обобщенных функций.

8.Дифференцирование обобщенных функций.

9. Первообразная обобщенной функции

10. Прямое произведение обобщенных функций.

11Свертка обобщенных функций.

12.Регуляризация обобщенных функций.

13.Алгебра обобщенных функций.

14. 
    Дробное дифференцирование.
    

15.Пространство основных быстро убывающих функций.

16.Обобщенные функции медленного роста.

17.Прямое произведение обобщенных функций медленного роста.

18 Свертка обобщенных функций медленного роста.

19 Условия существования свертки обобщенных функций медленного роста.

20.Преобразование Фурье основных быстро убывающих функций.

21.Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста.

22.Преобразование Фурье свертки обобщенных функций медленного роста

23. Построение фундаментального решения оператора Лапласа.

24. Построение фундаментального решения для волнового уравнения.

25. Построение фундаментального решения для уравнения теплопроводности.

Образцы вопросов для подготовки к экзамену.

1.Основные финитные, бесконечно-дифференцируемые функции.

2.Теорема о разложении единицы.

3.Пространство обобщенных функций.

4.Носитель обобщенной функции.

5.Первая и вторая формулы Сохотского.

6.Замена переменных в обобщенных функций.

7. Умножение обобщенных функций.

8.Дифференцирование обобщенных функций.

9. Первообразная обобщенной функции

10. Прямое произведение обобщенных функций.

11.Свертка обобщенных функций.

12.Регуляризация обобщенных функций.

13.Алгебра обобщенных функций.

14. 
    Дробное дифференцирование.
    

15.Пространство основных быстро убывающих функций.

16.Обобщенные функции медленного роста.

17.Прямое произведение обобщенных функций медленного роста.

18 Свертка обобщенных функций медленного роста.

19 Условия существования свертки обобщенных функций медленного роста.

20.Преобразование Фурье основных быстро убывающих функций.

21.Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста.

22.Преобразование Фурье свертки обобщенных функций медленного роста

23. Построение фундаментального решения оператора Лапласа.

24. Построение фундаментального решения оператора Даламбера.

25. Построение фундаментального решения для уравнения теплопроводности.

Список основной и дополнительной литературы:

1 В.С. Владимиров Уравнения математической физики, Москва, изд. Наука, 1976.

2. В.С. Владимиров Обобщенные функции в математической физике, Москва, изд. Наука, 1976.

3. В.С. Владимиров, В.В. Жариков Уравнения математической физики, Москва, изд. Физматлит, 2000.

4. А. Н. Колмогоров, С.В. Фомин Элементы теории функций и функционального анализа, Москва, изд. Наука, 1972.

5. Л. Хермандер линейные дифференциальные операторы с частными производными. Москва, изд. Мир, 1965.

6. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. Москва, изд. Наука, 1965.