Курсы кафедры дифференциальных уравнений 34 Курсы кафедры математического анализа 64
Скачать 1.65 Mb.
|
Квазиконформный анализ и теория пространств Соболева Автор - д.ф.-м.н., профессор Водопьянов С.К. Квазиаддитивные функции множества Квазиаддитивные функции множества и их свойства. Оценка интеграла от верхней производной функции множества. Теорема о дифференцировании квазиаддитивной функции множества. Теорема Лебега о дифференцировании интеграла. Теорема Лебега о дифференцируемости монотонной функции. [6], [7], [14]. Определение пространств Соболева и его свойства Абсолютно непрерывные функции, их дифференцируемость и восстановление по производной. Абсолютно непрерывные функции на прямой как функции с обобщенными производными. Определение функций с обобщенной производной в многомерном евклидовом пространстве. Классы функций Соболева и их свойства. Усреднение по Соболеву и свойства оператора усреднения. [8], [9]. Теоремы вложения Интегральные представления функций. Потенциалы Рисса и оценки для потенциалов Рисса. Теоремы вложения в областях Джона. Компактность операторов вложения. Неравенство Пуанкаре и коэрцитивные оценки. [9], [11], [13]. Теория емкости в пространствах Соболева Потенциалы Бесселя и их свойства. Энергия и нелинейные потенциалы. Неравенство Вольфа. Емкость и нелинейные потенциалы. Емкостное неравенство и теоремы вложения. Емкостные метрические характеристики множеств. Уточненные и квазинепрерывные функции. [1], [10], [12] Классы отображений, индуцирующие ограниченные операторы пространств Соболева Отображения с конечным искажением и их свойства. Свойства отображений, индуцирующих ограниченные операторы пространств Соболева с первыми обобщенными производными (необходимые условия). Достаточные условия для отображения, индуцирующего ограниченный оператор пространств Соболева. [2], [3], [4], [5], [15]. Список литературы:
Спецсеминар по геометрическому анализу. Руководитель - д.ф.-м.н., профессор Водопьянов С.К. На семинаре докладываются оригинальные работы участников семинара (в том числе, преподаватей, аспирантов и магистрантов кафедры геометрии и топологии, кафедры теории функций и кафедры математического анализа), а также реферируются статьи по тематике семинара. Научно-исследовательский семинар посвящен современному направлению анализа - стыку анализа и геометрии. Магистранты познакомятся со следующими темами:
Геометрическая теория меры и квазиконформный анализ на пространствах Карно-Каратеодори. Руководитель - д.ф.-м.н., профессор Водопьянов С.К. Дифференцирование отображений пространств Карно – Каратеодори. Определение дифференцируемости в геометрии Карно – Каратеодори. Теорема о дифференцируемости почти всюду спрямляемых кривых. Дифференцируемость отображений, имеющих непрерывные горизонтальные производные. Теоремы типа Радемахера и Степанова. Теорема об аппроксимативной дифференцируемости отображений, имеющих аппроксимативные горизонтальные производные. Формалу замены переменных. [2], [6], [7] Формулы геометрической теории меры на пространствах Карно – Каратеодори. Коэффициент площади. Формула площади для отображений класса C1. Формула площади для липшицевых отображений. Регулярные и нерегулярные точки границы множества. Множество уровня и асимптотическое поведение меры Хаусдорфа пересечения шара радиуса r с множеством уровня при r, стремящемся к 0, в регулярной точке. Коэффициент коплощади. Характеристическое множество, оценка его меры. Формула коплощади. [3], [4] Теория квазиконформных отображений в геометрии пространств Карно – Каратеодори. Дифференцируемость квазиконформных отображений. Абсолютная непрерывность квазиконформных отображений вдоль интегральных линий векторных полей. Эквивалентные определения квазиконформных отображений: метрическое, аналитическое, емкостное и функциональное. Свойство Лузина квазиконформных отображений. Теорема о замене переменных для квазиконформных отображений. Свзь с пространствами Соболева. [1], [5], [7] Отображения с ограниченным искажением на группах Карно Отображения с ограниченным искажением. Доказательство перестановочности операции внешнего дифференцирования и переноса горизонтальных дифференциальных форм на группах Карно. Связь отображений с ограниченным искажением с субэллиптическими уравнениями. Нелинейная теория потенциала вырождающихся субэллиптических уравнений и отображения с ограниченным искажением. Топологические свойства отображений с ограниченным искажением. Локальные оценки искажения и теорема о полунепрерывности коэффициента искажения. [8] Литература [1] Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1996. T.37, №6. С. 1269-1295. [2] Basalaev S. G., Vodopyanov S. K. Approximate differentiability of mappings of Carnot -Caratheodory spaces // Eurasian Math. J. 2, no. 1 (2011), to appear. [3] Karmanova M., Vodopyanov S., Geometry of Carnot-Caratheodory spaces, differentiability, area and coarea formulas / In: Analysis and Mathematical Physics, Trends in Mathematics, Verlag Basel/Switzerland: Birkhauser, 2009. 233-335. [4] Karmanova M., Vodopyanov S., An Area Formula for Contact $C^1$-Mappings of Carnot Manifolds // Complex Variables and Elliptic Equations, 55 (2010), I-III. P. 317-329 [5] Margulis, G.A.; Mostow, G.D. The differential of a quasi-conformal mapping of a Carnot-Carathéodory space // Geom. Funct. Anal. 5, No. 2, 402-433 (1995). [6] Pansu P., Metriques de Carnot - Caratheodory et quasiisometries des espaces symm\'etriques de rang un // Acta Math. 129 (1989), no. 1, 1-60 [7] Vodopyanov S.K., Geometry of Carnot-Carathéodory spaces and differentiability of mappings. The interaction of analysis and geometry. (Burenkov, V. I. (ed.) et al.), International school-conference on analysis and geometry, Novosibirsk, Russia, August 23–September 3, 2004. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS, Contemporary Mathematics 424), (2007), 247-301. [8] Vodopyanov S.K., Foundations of the theory of mappings with bounded distortion on Carnot groups. The interaction of analysis and geometry. (Burenkov, V. I. (ed.) et al.), International school-conference on analysis and geometry, Novosibirsk, Russia, August 23–September 3, 2004. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS, Contemporary Mathematics 424), (2007), 303-344. Геометрия пространств Карно – Каратеодори Автор - д.ф.-м.н., профессор Водопьянов С.К. Распределения и фильтрация на многообразиях. Алгебра Ли векторных полей на многообразии. Распределения векторных полей. Фильтрация на многообразии. Градуированные нильпотентные группы, теория оптимального управления, ОДУ, пространства Карно – Каратеодори, система векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера. [1], [3], [5], [6] Абстрактные группы Ли и группы Карно Дифференциалы, коммутаторы, алгебра Ли левоинвариантных векторных полей, гомоморфизм, экспоненциальные отображения. [4], [8] Группы Карно Некоторые свойства стратификации на группе Карно. Абстрактные однородные группы Карно. Однопараметрические группы растяжений. Однородные метрики. Сублапласиан на стратифицированной группе. [4], [8] Двухступенчатые группы Карно Группы Гейзенберга - Вейля. Двухступенчатые однородные группы Карно. Свободные двухступенчатые однородные группы. Двухступенчатые группы Карно H-типа. [4], [8] Примеры групп Карно. Евклидовы группы. Группы Карно однородной размерности Q меньшей, либо равной 3. B-группы. Группы K-типа. Сумма групп Карно. Различные примеры сублапласианов. [4], [8] Касательный конус в смысле Громова. Метрические характеристики пространств Карно – Каратеодори. Существование локальных нильпотентных групп. Теорема о сравнении геометрий исходного пространства и локальной группы. Теоремы расхождений цепочек интегральных линий векторных полей. Локальная аппроксимационная теорема. Теорема о сходимости к касательному конусу. [2], [6], [7] Теорема Рашевского – Чоу. Существование горизонтальных кривых. Метрика Карно – Каратеодори. Ball-Box теорема. Хаусдорфова размерность. [7], [9] Литература [1] А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи”, Динамические системы – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 16, ВИНИТИ, М., 1987, 5–85. [2] Карманова М.Б. Характеристическое множество гладких контактных отображений пространств Карно-Каратеодори // Доклады Академии наук 2009, Т. 425, № 3, 314-319. [3] Bellaiche, André. The tangent space in sub-Riemannian geometry / In: Bellaiche, André (ed.) et al., Sub-Riemannian geometry. Proceedings of the satellite meeting of the 1st European congress of mathematics `Journées nonholonomes: géométrie sous-riemannienne, théorie du contrôle, robotique', Paris, France, June 30--July 1, 1992. Basel: Birkhäuser. Prog. Math. 144, 1-78 (1996) [4] Bonfiglioli, Andrea; Lanconelli, Ermanno; Uguzzoni, Francesco, Stratified Lie groups and potential theory for their sub-Laplacians. Springer Monographs in Mathematics. New York, NY: Springer. (2007). 800 p. [5] Bryant, Robert L.; Chern, S.S.; Gardner, Robert B.; Goldschmidt, Hubert L.; Griffiths, P.A. Exterior differential systems. Publications, Mathematical Sciences Research Institute, 18. New York etc.: Springer-Verlag (1991), 475 p. [6] Gromov M., Carnot-Carathéodory spaces seen from within / In: Bellaiche, André (ed.) et al., Sub-Riemannian geometry. Proceedings of the satellite meeting of the 1st European congress of mathematics `Journées nonholonomes: géométrie sous-riemannienne, théorie du contrôle, robotique', Paris, France, June 30-July 1, 1992. Basel: Birkhäuser. Prog. Math. 144, 79-323 (1996). [7] Karmanova M., Vodopyanov S., Geometry of Carnot-Caratheodory spaces, differentiability, area and coarea formulas / In: Analysis and Mathematical Physics, Trends in Mathematics, Verlag Basel/Switzerland: Birkhauser, 2009. 233-335. [8] Montgomery, Richard. A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications. Mathematical Surveys and Monographs 91. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), (2002), 259 p. [9] Nagel, Alexander; Stein, Elias M.; Wainger, Stephen, Balls and metrics defined by vector fields. I: Basic properties // Acta Math. 155, 103-147 (1985). Анализ на пространствах Карно – Каратеодори (семинар) Руководитель - д.ф.-м.н., профессор Водопьянов С.К. На семинаре докладываются оригинальные работы участников семинара (в том числе, преподаватей, аспирантов и магистрантов кафедры геометрии и топологии, кафедры теории функций и кафедры математического анализа), а также реферируются статьи по тематике семинара. Научно-исследовательский семинар посвящен современному направлению анализа - анализу на пространствах Карно - Каратеодори. Магистранты познакомятся и научатся применять следующие понятия и теоремы:
Эргодическая теория Автор: д.ф.-м.н., доцент Качуровский А.Г. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ. Автоморфизмы и эндоморфизмы пространства с мерой, потоки и полупотоки. Проблема существования инвариантной меры. Построение таких мер. Эргодичность и перемешивание, слабое и сильное. Примеры и приложения. ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ. Эргодическая проблема статистической физики. Индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа и статистическая эргодическая теорема фон Неймана. ОБЩИЕ КОНСТРУКЦИИ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ. Пространства Лебега. Проблема метрического изоморфизма. Спектр фон Неймана и энтропия Колмогорова-Синая как основные метрические инварианты. Интегральный и производный автоморфизмы. Прямые и косые произведения динамических систем. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. Унитарные и изометрические операторы, сопряженные с динамическими системами. Спектральные свойства динамических систем. Спектральные меры. Корреляционные коэффициенты как коэффициенты Фурье спектральных мер. Стохастические меры. ЭНТРОПИЙНАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. Энтропия разбиения, энтропия автоморфизма, образующие разбиения. Энтропия автоморфизмов Бернулли. Энтропия и спектр. К-системы. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ. Сходимость по норме и п.в.. Максимальные и доминантные неравенства. Пересечение полосы и другие характеристики. Обобщения на сжатия в пространствах суммируемых функций. УНИФИКАЦИИ ЭРГОДИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ И ТЕОРЕМ О СХОДИМОСТИ МАРТИНГАЛОВ. Обращенные мартингалы, их общие с эргодическими средними свойства. Мартингально-эргодические и эргодико-мартингальные процессы: сходимость, основные неравенства. Связи с другими подходами к унификации. Нерешенные проблемы. ЛИТЕРАТУРА 1. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. 2. Халмош П. Лекции по эргодической теории. Ижевск, Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. 3. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск, Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. 4. Sinai Ya.G. (editor). Dynamical systems, ergodic theory and applications. Encyclopedia of Mathematical Sciences, Vol. 100. Springer-Verlag, 2000. 5. Качуровский А.Г. Единые теории, унифицирующие эргодические средние и мартингалы // Труды МИАН, 2007. Т. 256. С. 172-200. Эргодические теоремы Автор - д.ф.-м.н., доцент Качуровский А.Г. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА. Эргодическая проблема статистической физики (Больцман). Индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа и статистическая эргодическая теорема фон Неймана как один из возможных подходов к решению этой проблемы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЭРГОДИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ. Авторские доказательства Биркгофа и фон Неймана. Уточнения и упрощения Хинчина, Хопфа, Рисса, Колмогорова, Гарсиа, Камае. ОБОБЩЕНИЯ ЭРГОДИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ. Теоремы Хопфа и Степанова для локально конечных инвариантных мер. Обобщения на сжатия в пространствах суммируемых функций. Операторные эргодические теоремы. Обобщения на случай действия решеток, и общей аменабельной группы преобразований. Векторнозначные эргодические теоремы. Локальная эргодическая теорема Винера и ее обобщения. Обобщенные эргодические средние. ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ПО ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ. Сходимости эргодических средних по подпоследовательностям. Универсально хорошие и плохие последовательности. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ, ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ. Спектральная теория динамических систем. Стационарные в широком и узком смысле стохастические процессы. Спектральные меры стационарных процессов. Корреляционные коэффициенты как коэффициенты Фурье спектральных мер. Стохастические меры. СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ЭРГОДИЧЕСКИХ ТЕОРЕМАХ. Единицы измерения скоростей. Отрицательные результаты Кренгеля и Халаша, необходимость применения спектральной теории динамических систем. Вычисление скоростей сходимости по особенности в нуле спектральной меры усредняемой функции относительно динамической системы, и по скорости убывания корреляционных коэффициентов. Нерешенные проблемы. ЛИТЕРАТУРА 1. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. 2. Krengel U. Ergodic theorems. Berlin; New York: W. de Gruyter, 1985. 3. Sinai Ya.G. (editor). Dynamical systems, ergodic theory and applications. Encyclopedia of Mathematical Sciences, Vol. 100. Springer-Verlag, 2000. 4. Качуровский А.Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН, 1996. Т. 51, № 4. С. 73-124. 5. Качуровский А.Г., Решетенко А.В. О скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем // Мат. сборник, 2010. Т. 201, №4. С. 25-32. Унификации эргодических средних и мартингалов (семинар) Руководитель: д.ф.-м.н., доцент Качуровский А.Г. На семинаре докладываются оригинальные работы участников семинара (в том числе, преподаватей, аспирантов и магистрантов кафедры геометрии и топологии, кафедры теории функций и кафедры математического анализа), а также реферируются статьи по тематике семинара. Научно-исследовательский семинар посвящен изучению эргодической теории и теории мартингалов. Среди основных вопросов, обсуждаемых на семинаре: ЭРГОДИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ. Определения, теоремы Биркгофа и фон Неймана о сходимости. Максимальные и доминантные неравенства. Аналоги этих неравенств для действий сжатий в пространствах суммируемых функций. Математическое ожидание числа пересечений полосы и другие колебательные характеристики. ОБРАЩЕННЫЕ МАРТИНГАЛЫ. Определения, теоремы Дуба о сходимости. Максимальные и доминантные неравенства. Математическое ожидание числа пересечений полосы. Удивительное совпадение всех мартингальных характеристик с эргодическими, со всеми точными константами. ПЕРВЫЕ ЧЕТЫРЕ ПОДХОДА К УНИФИКАЦИИ. Мартингальная формулировка эргодических теорем М. Джерисона (1955). Суммирование по Абелю Ж.-К. Рота (1962). Унифицированное максимальное неравенство А. и К. Ионеску-Тульча (1963). Связь с действиями локально конечных групп А.М. Вершика (1960-е). МАРТИНГАЛЬНО-ЭРГОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ (5-Й ПОДХОД, 1998). Унифицирующие мартингально-эргодические процессы: сходимость по норме и п.в. Максимальные и доминантные неравенства. Необходимость условия интегрирования супремума процесса для сходимости п.в. (Г. Аргирис, Дж.М. Розенблатт). Геометрическая и физическая интерпретации мартингально-эргодических процессов. Аналоги для действий решеток сжатий в пространствах суммируемых функций. ЭРГОДИКО-МАРТИНГАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ (6-Й ПОДХОД, 2006). Сравнение 5-го подхода с подходом Ж.-К. Рота. Эргодико-мартингальные процессы: сходимость по норме и п.в. Максимальные и доминантные неравенства. Необходимость условия интегрирования супремума процесса для сходимости п.в. Геометрическая и физическая интерпретации эргодико-мартингальных процессов. НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ. Константы в максимальном и доминантном неравенствах для унифицирующих мартингально-эргодических и эргодико-мартингальных процессов. Сходимость п.в. в случае коммутирования операторов эргодического усреднения и условного математического ожидания в этих процессах (т.е. случай инвариантности фильтрации). ЛИТЕРАТУРА 1. Krengel U. Ergodic theorems. Berlin; New York: W. de Gruyter, 1985. 2. Ширяев А.Н. Вероятность. М: Наука, 1989. 3. Качуровский А.Г. Мартингально-эргодическая теорема // Мат. заметки, 1998. Т. 64, №2. С. 311-314. 4. Качуровский А.Г. Единые теории, унифицирующие эргодические средние и мартингалы // Труды МИАН, 2007. Т. 256. С. 172-200. 5. Подвигин И.В. Мартингально-эргодические и эргодико-мартингальные процессы с непрерывным временем // Мат. сборник, 2009. Т. 200, №5. С. 55-70. Скорости сходимости в эргодических теоремах (семинар) Руководитель: д.ф.-м.н., доцент Качуровский А.Г. |
Похожие:
 | Решение дифференциальных уравнений с помощью прикладного пакета Mathematica Соискатель кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа Малышева Ольга Николаевна | | Выпускная работа по «Основам информационных технологий» После того как Ньютон решил задачу Кеплера, теория дифференциальных уравнений стала одним из основных инструментов математического... |
| Курсы повышения квалификации за пределами школы, дистанционные курсы,... Обж и музыки, оснащены ноутбуками, мультимедийными проектороми и экранами на треноге | | Радиофизический факультет Цель дисциплины – ознакомление с фундаментальными понятиями и методами исследования обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений... |
| Развития и торговли Российской Федерации Бурятский республиканский педагогический колледж предлагает слушателям: стационарные курсы и семинары (на базе колледжа), выездные... | | Анализ работы кафедры физической культуры и спорта за 2010-2011 учебный год В этом учебном году прошли курсы повышения квалификации три преподавателя кафедры: Зикрань Ф. З., Смирнов М. О. и Осокин В. А. На... |
| Кафедра статистики, эконометрики и естествознания Программа учебной дисциплины Бурятский республиканский педагогический колледж предлагает слушателям: стационарные курсы и семинары (на базе колледжа), выездные... |  | План проспект курсов повышения квалификации педагогических работников... Бурятский республиканский педагогический колледж предлагает слушателям: стационарные курсы и семинары (на базе колледжа), выездные... |
| Рабочей программы дисциплины дв «Избранные главы теории дифференциальных... Изучение дисциплины способствует формированию математической культуры магистрантов; умению строить математические модели наблюдаемых... | | Учебно-методический комплекс курсы по выбору направление подготовки: 030801. 65 «Религиоведение» Умкд разработан в 2008 г к и н., доцентом кафедры отечественной истории кгпу им. В. П. Астафьева к и н., доцентом И. Н. Ценюга, актуализирован... |
| Высшие дипломатические курсы Курсы «Повышение профессиональной квалификации» для молодых специалистов, принятых на работу | | Элективные курсы Рецензент: Петрович В. Г., к и н., доцент кафедры гуманитарно-художественного образования гоу дпо «Сарипкипро» |
| Технологии физкультурно-спортивной деятельности смоленск 2009 Итоговая форма контроля – 3, 5 курсы дифференцированный зачет; 4, 6 курсы экзамен | | Особенности преподавания профильных элективных курсов по биологии.... Элективные курсы в профильных классах — это обязательные для изучения курсы для учащихся |
| Вопросы к зачету Дополнения и изменения, внесенные в рабочую программу «Элективные курсы по физической культуре», утверждены на заседании кафедры... | | Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий. Элективные... Макарцева Л. В., к г н., доцент кафедры экономической географии сгу им. Н. Г. Чернышевского |
