1. Пространство, время, симметрия
1.1. Общие сведения
Движение тел со скоростью значительно меньшей скорости света принято называть нерелятивистским. Оно описывается законами классической механики.
Мгновенная скорость прямолинейного движения равна отношению приращения расстояния к приращению времени:
υ = ds / dt.
его средняя скорость:
‹ υ ›= s / t = const.
Ускорение прямолинейного движения по определению равно:
а = dυ / dt = d2s / dt2;
причем его среднее ускорение;
‹ а › = ( υ – υ0 ) / t,
где υ0 _ скорость в начальный момент времени.
В случае прямолинейного равномерного движения имеем следующие уравнения:
s = υ0t + at2/2, υ = υ0 + at, a = const.
Ускорение (а) в этих уравнениях положительно при равноускоренном движении и отрицательно при равнозамедленном.
Скорость сложного движения равна векторной сумме скоростей слагаемых движений:
υ = ∑ υi (i = 1 до n).
При криволинейном движении полное ускорение:
а = √ (at2 + аn2),
где at _ тангенциальное ускорение; an _ нормальное (центростремительное) ускорение, причем
at = dυ / dt; an = υ2 / R,
где R _ радиус кривизны траектории в данной точке.
При вращательном движении угловая скорость
ω = dφ / dt,
угловое ускорение ε = dω / dt = d2φ / dt2.
В случае равномерного вращательного движения угловая скорость
ω = φ / t = 2π / T = 2πν,
где Т _ период вращения; ν _ частота вращения, т.е. число оборотов в единицу времени.
Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением
υ = ωR.
Тангенциальное и нормальное ускорение при вращательном движении определяются соответственно формулами:
аt = εR, an = ω2R.
Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением F dt = d(mυ).
Если масса постоянна, то
F = m( dυ / dt) = ma,
где а _ ускорение, приобретенное телом массы m под действием силы F.
Обычно учитывается результирующая сила, которая определяется по правилу сложения векторов: F = ∑Fi (i = 1 до n).
Сила трения скольжения F = k Fn, где k _ коэффициент трения; Fn _ нормальная составляющая силы, действующей на поверхность, по которой скользит тело.
Центростремительная сила, действующая на тело, движущееся по кривой, Fц = mυ2 / R, где m _ масса тела, υ _ его скорость, R _ радиус кривизны траектории.
1.2. Примеры решения задач
Задача 1.2.1 Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью υ1 = 72 км/ч, видит встречный поезд, идущий со скоростью υ2 = 31,4 км/ч, в течение 10 с. Определите длину встречного поезда.
Решение: Встречный поезд по отношению к пассажиру движется со
скоростью υ = υ1 + υ2.
Длина поезда l = ( υ1 + υ2) / t.
Переведем скорости в м/с : υ1 = 72/3,6 = 20 м/с; υ2 = 31,4/3,6 = 9 м/с.
Тогда l = (20 м/с + 9 м/с)10 с = 290 м.
Задача 1.2.2. Автомобиль, имея скорость υ0 = 70 км/ч, стал двигаться равнозамедленно и через 10 с снизил скорость до υ = 52 км/ч. С каким ускорением двигался автомобиль на данном участке? Какое он при этом прошел расстояние?
Решение: Переведем скорости в м/с: υ0 = 70/3,6 м/с; υ = 52/3,6 м/с.
Ускорение автомобиля находим по формуле:
а = ( υ – υ0 ) / t; a = ( 52/3,6 м/с - 70/3,6 м/с ) / 10 с ≈ - 0,6 м/с2.
Ускорение автомобиля отрицательно, так как движение автомобиля
замедляется.
Пройденный путь s = ‹ υ ›t = t ∙ ( υ0 + υ ) / 2,
s = 10 c ∙ ( 70/3,6 м/с + 52/3,6 м/с ) / 2 ≈ 169 м.
Задача 1.2.3. Камень массой 1,05 кг, скользящий по поверхности льда со скоростью 2,44 м/с, под действием силы трения остановился через 10 с. Найдите силу трения, считая ее постоянной.
Решение: В соответствии со вторым законом Ньютона F∆t = mυ2 – mυ1,
где F _ сила трения, под действием которой скорость тела массой m за время t меняется от υ1 до υ2. в данном случае υ2 = 0 и F = - ( mυ1 / ∆t ).
Знак минус указывает, что направление силы трения F противоположно
направлению скорости υ1.
В системе СИ m = 1,05 кг, υ1 = 2,44 м/с и t = 10 с. Тогда
F = ( -1,05 кг ∙ 2,44 м/с ) ∙ 10 с = -0,256 Н.
1.3. Задачи для самостоятельного решения
1.3.1. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло за t = 6 с расстояние s0 = 450 м. На каком расстоянии s от начального положения оно находилось через t1 = 4 с после начала движения?
1.3.2. Зависимость пройденного пути от времени задается уравнением s = A + Bt + Ct2 + Dt3 ( C = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3 ). Определите:
1) через какое время после начала движения ускорение а тела будет
равно 2 м/с2;
2) среднее ускорение ‹ а › тела за этот промежуток времени.
1.3.3. Пассажир электропоезда, движущегося со скоростью 15 м/с, заметил, что встречный поезд, длиной 210 м прошел мимо него за 6 с. Определите скорость движения встречного поезда.
1.3.4. Первую четверть пути мотоциклист проехал со скоростью υ1 = 10 м/с, вторую _ со скоростью υ2 = 15 м/с, третью _ со скоростью υ3 = 20 м/с и последнюю _ со скоростью υ4 = 5 м/с. Определите среднюю скорость ‹ υ › движения мотоциклиста на всем пути.
1.3.5. Поезд движется со скоростью 36 км/ч. Если выключить ток, то поезд, двигаясь равнозамедленно, останавливается через 20 с. Найдите: отрицательное ускорение поезда; расстояние, пройденное им за время торможения.
1.3.6. Определите время подъема из метро пассажира, стоящего на эскалаторе, если при одинаковой скорости относительно ступенек по неподвижному эскалатору он поднимается за t = 2 мин, а по движущемуся _ за t = 30 c.
1.3.7. Моторная лодка плывет по реке из одного пункта в другой и обратно. Во сколько раз время движения против течения больше времени движения по течению, если скорость течения υ1 = 2 м/с, а скорость лодки в стоячей воде υ2 = 10 м/с.
1.3.8. Определите продолжительность полета самолета между двумя пунктами, расположенными на расстоянии 1000 км, если дует встречный ветер со скоростью υ1 = 25 м/с, а средняя скорость самолета относительно воздуха υ2 = 250 м/с. Чему равно время полета самолета при попутном ветре?
1.3.9. Определите время подъема лифта в высотном здании, считая его движение при разгоне и торможении равнопеременным с ускорением, равным по абсолютной величине а = 1 м/с2, а на среднем участке _ равномерным со скоростью υ = 2 м/с. Высота подъема h = 60 м.
1.3.10. Колесо радиуса R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением ω = 2Аt + 5Bt4 (A = 2 рад/с2 и В = 1 рад/с5). Определите полное ускорение точек обода колеса через t = 1с после начала вращения и число оборотов, сделанное колесом за это время.
1.3.11. Диск, вращаясь равноускоренно достиг угловой скорости ω = 20 рад/с, совершив n = 10 полных оборотов после начала вращения. Найдите угловое ускорение диска.
1.3.12. Сколько оборотов сделают колеса автомобиля после включения тормоза, если в начальный момент торможения автомобиль имел скорость υ0 = 60 км/ч и остановился за время t = 3 с после начала торможения? Диаметр колем D = 0,7 м. Чему равно среднее угловое ускорение колес при торможении?
1.3.13. Автомобиль весом 5∙104 Н, движущийся по инерции со скоростью 10 м/с, вследствие трения остановился за 20 с. Определите силу трения.
1.3.14. Определите массу движущегося прямолинейно тела, которое под действием силы 30 Н через 5 с после начала движения изменяет свою скорость от 15 до 30 м/с.
1.3.15. Чему равен коэффициент трения колес автомобиля о дорогу, если при скорости автомобиля 10 м/с тормозной путь равен 8 м?
1.3.16. Поезд массой 500т после прекращения тяги тепловоза под действием силы трения 9,8∙104 Н останавливается через 1 мин. С какой скоростью шел поезд?
1.3.17. Тело массой m = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного пути s от времени t задается уравнением s = A – Bt + Ct2 – Dt3, где С = 5 м/с2 и D =1 м/с3. Найдите силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.
1.3.18. По наклонной плоскости, расположенной под углом α = 300 к
горизонту, скользит тело. Найдите его ускорение, если коэффициент трения f равен 0,3.
1.3.19. Из орудия вылетает снаряд массой 10 кг со скоростью 500 м/с. Найдите силу давления пороховых газов, считая ее постоянной во все время движения снаряда внутри ствола орудия, равное 0,01 с.
1.3.20. Два груза с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты через невесомый блок. Найдите: 1) ускорение, с которым движутся грузы; 2) натяжение нити. Трением в блоке пренебречь. 
|
