5. Порядок и беспорядок в природе (основы термодинамики)
5.1. Общие сведения
Идеальные газы подчиняются уравнению состояния Менделеева – Клайперона:
где P – давление газа; V – его объем; m –масса газа; μ- молярная масса; R – универсальная газовая постоянная. Идеальный газ может участвовать в процессах, когда из термодинамических параметров неизменен: изохорный, изотермический или изобарный процессы. В этом случае можно применять частные случай уравнения Менделеева - Клайперона, а именно, законы Гей-Люссака, Бойля – Мариотта.
Основное уравнение кинетической теории газов имеет вид:
P = 2 / 3 n ∙ Ŵ0 = 2 /3 n ∙ m0∙ v2/ 2
где n – число молекул в единице объема; Ŵ0 – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы; m0 – масса молекулы; v– средняя скорость.
Число молекул в единице объема n = P / ( k ∙ T ),
где k = R / NA – постоянная Больцмана; NA – число Авогадро.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул
Ŵ0 = 3 / 2 k ∙ T.
Для средней квадратичной скорости справедливо выражение:
v2 = 3 R T / μ = 3 k T / m0,
где m0 = μ / NA.
энергия теплового движения молекул или внутренняя энергия газа определяется соотношением: W = m ∙ i ∙ R ∙ T / ( 2 ∙ μ ), где i – число степеней свободы молекул ( для одноатомного газа i равно 3, для двухатомного – i =5, многоатомного – i =6 ).
Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме CV = i ∙ R / 2, при постоянном давлении CP = CV + R.
Первое начало термодинамики записывается в виде: dQ = dW + dA и означает, что количество теплоты, сообщаемое термодинамической системе, идет на изменение внутренней энергии системы и совершение работы. Причем работа, совершаемая при изменении объема, определяется выражением dA = P ∙ dV , а изменение внутренней энергии – dW= m ∙ i ∙ R ∙ dT / ( 2 ∙ μ ).
При сгорании топлива массой m выделяется количество теплоты Q=q∙ m, где q – удельная теплота сгорания топлива.
Коэффициент полезного действия (кпд) равен:
η = Qполезное / Qзатраченное = (T1 - T2) / T1.
5.2. Примеры решения задач
Задача 5.2.1. Найдите среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы гелия, имеющего при давлении 100 кПа плотность 0.12 кг / м3.
Решение: Воспользуемся основным уравнением кинетической теории газов P = 2 / 3 n ∙ Ŵ0 . Число молекул в единице объема n = NA ∙ ρ / μ, где ρ – плотность. Выразим из этих двух формул среднюю кинетическую энергию: Ŵ0 = 3 ∙ Р ∙ μ / ( 2 ∙ ρ ∙ NA ). Подставляем числовые значения и получим Ŵ0 = 8.3 ∙ 10-21 Дж.
Задача 5.2.2. Найдите удельную теплоемкость при постоянном объеме некоторого многоатомного газа, если известно, что плотность этого газа при нормальных условиях равна 7.95 ∙ 10-4 г/см3 .
Решение: Удельная теплоемкость при постоянном объеме определяется формулой: CV = ( R ∙ i ) / ( 2 ∙ μ ). Из уравнения Клайперона - Менделеева следует выражение для плотности газа: ρ = ( P ∙ μ ) / ( R ∙ T ). Из этих двух уравнений находим CV = ( P ∙ i ) / ( 2 ∙ T ∙ ρ ). Подставляем числовые значения и получим CV = 1400 Дж / ( кг ∙ К).
Задача 5.2.3. Тело массой 100 кг скользит вниз по плоскости, наклоненной под углом 300 к горизонту. Как изменится внутренняя энергия тела и наклонной плоскости при перемещении тела на 3 м по высоте? Коэффициент трения скольжения равен 0.2.
Решение: При скольжении тело и плоскость нагреваются, в результате чего их внутренняя энергия увеличивается. Изменение внутренней энергии равно работе против сил трения, т.е. ∆W = Aтр. Сила трения Fтр = k ∙ m ∙ g ∙ cosα. Путь, пройденный при опускании на высоту, определяется формулой: l = h / sinα. Следовательно работа выражается формулой: Aтр = Fтр ∙l = k ∙ m ∙ g ∙ h ∙ ctgα. Подставляем числовые значения и получим ∆W = 1020 Дж.
Задача 5.2.4. Автомобиль расходует 5.67 кг бензина на 50 км пути. Определите мощность, развиваемую при этом двигателем автомобиля, если скорость движения 72 км/час и кпд двигателя 22%. Удельную теплоту сгорания бензина принять равной 45 МДж/кг.
Решение: Выделяемой количество теплоты при сгорании бензина равно энергии W = m ∙ q. Полезная работа при этом A = η ∙ W. Развиваемая двигателем мощность N = A / t = m ∙ q ∙ η / t. Учитывая, что t = S / v, получим N = m ∙ q ∙ η ∙ v / S. Подставляем числовые значения и получим N =22.4 ∙103Вт.
Задача 5.2.5. В результате теплового процесса газ совершил работу 2 кДж и передал холодильнику 8.4 кДж тепла. Определите кпд тепловой машины.
Решение: Совершаемая рабочим телом полезная работа A = Q1 – Q2, т.е. количество теплоты, переданное рабочему телу Q1 = A + Q2 , где Q2 –количество теплоты, отданное холодильнику. Кпд тепловой машины:
η = Qполезное / Qзатраченное = ( Q1 – Q2 ) / Q1 = A / ( A + Q2 ).
Подставляем числовые значения и получим η = 19%.
5.3. Задачи для самостоятельного решения
5.3.1. Бак с жидкостью, над поверхностью которой находится воздух, герметически закрыт. Почему, если открыть кран, находящийся в нижней части бака, после вытекания некоторого количества жидкости дальнейшее ее истечение прекратится? Что надо сделать, чтобы обеспечить свободное вытекание жидкости?
5.3.2. Во сколько раз изменится давление воздуха в цилиндре, если поршень переместится на 1/3 его хода влево? Вправо?
5.3.3. Баллон содержит 40 л сжатого воздуха под давлением 15 МПа. Какой объем воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом из этого баллона, если лодка находится на глубине 20 м?
5.3.4. Какова плотность сжатого воздуха при 00С в камере автомобиля «Волга», если он находится под давлением 0,17 МПа (избыточным над атмосферным)?
5.3.5. Какая масса воздуха м выйдет из комнаты объемом V = 60 м3 при повышении температуры от T1 = 280 К до Т2 = 300 К при нормальном давлении?
5.3.6. Почему аэростаты окрашивают в серебристый цвет?
5.3.7. Резиновую лодку надули ранним утром, когда температура окружающего воздуха была 70С. На сколько процентов увеличилось давление воздуха в лодке, если днем под лучами солнца от прогрелся до 350 С ?
5.3.8. При какой температуре находился газ в закрытом сосуде, если при нагревании его на 140 К давление возросло в 1,5 раза?
5.3.9. Какова зависимость числа молекул газа в единице объема от абсолютной температуры при изохорном процессе? При изобарном процессе?
5.3.10. Газ при давлении 0,2 МПа и температуре 150 С имеет объем 5 л? Чему равен объем этой массы газа при нормальных условиях?
5.3.11. Какое давление рабочей смеси установилось в цилиндрах внутреннего сгорания, если к концу такта сжатия температура повысилась с 47 до 3670 С, а объем уменьшился с 108 до 0,3 л? Первоначальное давление было 100 кПа.
5.3.12. Каково давление сжатого воздуха, находящегося в баллоне емкостью 20 л при 120 С, если масса этого воздуха 2 кг?
5.3.13. Какой емкости нужен баллон для содержания в нем 50 моль газа, если при максимальной температуре 360 К давление не должно превышать 6 МПа?
5.3.14. В одинаковых баллонах при одинаковой температуре находятся равные массы водорода (Н2) и углекислого газа (СО2). Какой из газов и во сколько раз производит большее давление на стенки баллона?
5.3.15. Пользуясь таблицей Менделеева, найти плотность ацетилена (С2 Н2) при нормальных условиях.
5.3.16. Зная плотность воздуха при нормальных условиях, найти молярную массу воздуха.
5.3.17. Вычислить увеличение внутренней энергии 2 кг водорода при повышении его температуры на 10 К.
5.3.18. Для получения газированной воды через воду пропускают сжатый углекислый газ. Почему температура воды при этом понижается?
5.3.19. Вычислить КПД газовой горелки, если в ней используется газ. Теплота сгорания которого 36 МДж/м2, а на нагревание чайника с 3 л воды от 100С до кипения было израсходовано 60 л газа. Теплоемкость чайника 100 Дж/К.
5.3.20. При трении двух тел, теплоемкости которых по 800 Дж/К, температуре через 1 мин повысилась на 30 К. Найти среднюю мощность при трении.
5.3.21. Два одинаковых стальных шарика упали с одной и той же высота. Первый упал в вязкий грунт, а второй, ударившись о камень, отскочил и был пойман рукой на некоторой высоте. Который из шариков больше нагрелся?
5.3.22. Что обладает большей внутренней энергией: рабочая смесь, находящаяся в цилиндре двигателя внутреннего сгорания к концу такта сжатия (до проскакивания искры), или продукт ее горения к концу рабочего хода?
5.3.23. Гусеничный трактор развивает номинальную мощность 60 кВт и при этой мощности расходует в среднем в час 18 кг дизельного топлива. Найти КПД его двигателя.
В сосуде объемом 20 л находится 4 г водорода, при температуре 270 С. Найдите давление водорода.
Определите число молекул, содержащихся в единице массы углекислого газа. Найдите массу одной молекулы и для нормальных условий число молекул в 1 см3 газа, если плотность данного газа при нормальных условиях равна 1.98 кг/м3.
Найдите плотность кислорода при температуре 300 К и давлении 1.6 ∙ 105 Па. Определите массу кислорода, занимающего при этих условиях 200 м3.
Сколько степеней свободы имеет молекула, обладающая средней кинетической энергией теплового движения 9.7 ∙ 10-21 Дж при температуре 70С?
Чему равна средняя кинетическая энергия поступательного движения и полная средняя кинетическая энергия молекул при температуре 10000С для одноатомных, двухатомных и многоатомных газов?
Найдите среднюю квадратичную скорость молекул газа. Имеющего плотность 1,8 кг/м3 при давлении 152 кПа.
Газ нагревается в открытом сосуде при нормальном атмосферном давлении от 27оС до 327оС. На сколько при этом изменится число молекул в единице объема?
Удельная теплоемкость при постоянном давлении некоторого газа 987 Дж/кг∙К, масса его 34 кг/кмоль. Определите, каким числом степеней свободы обладают молекулы этого газа.
Разность между удельными теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме для некоторого газа равна 260 Дж/кг∙К. Определите молярную массу данного газа.
При нагревании газа на 25оС при постоянном давлении необходимо затратить 500 Дж тепла, а при охлаждении того же количества газа на 78оС при постоянном объеме выделяется 1070 Дж. Определите отношение теплоемкостей Сp / CV.
5,6 г окиси углерода (СО) находится под давлением 2∙105 Н/м2 при температуре 17оС. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем 5 дм3. Определите количество теплоты, полученной газом.
5.3.35. Закрытый баллон объемом 0,8 м3 заполнен азотом под давлением 2,3∙106 Н/м2 при температуре 20оС. Газу сообщили 4,6∙103 кДж тепла. Определите температуру и давление газа в конце процесса.
5.3.36. В цилиндре диаметром d = 40 см содержится V = 0,08 м3 двухатомного газа. На сколько следует увеличить нагрузку поршня при подводе 84 Дж тепла, чтобы поршень не пришел в движение?
5.3.37. При изобарическом расширении некоторой массы многоатомного газа, находящегося под давлением 2∙105 Н/м2, его внутренняя энергия изменилась на 4,8 кДж. Найдите увеличение объема газа.
5.3.38. На сколько километров пути хватит автомашине V = 40 л бензина, если ее вес равен Р = 35,5 кН, общее сопротивление движению составляет 0,050 этой силы, кпд двигателя η = 18%, удельная теплота сгорания бензина q = 4,6∙107 Дж/кг, плотность бензина ρ = 0,7∙103 кг/м3. Движение считать равномерным.
5.3.39. Какое количество теплоты за сутки теряется через стены и окна в комнате с печным отоплением, если для поддержания в ней постоянной температуры воздуха потребовалось сжечь 10 кг угля? Удельная теплота сгорания угля q = 2.05∙107 Дж/кг; кпд печи равна 35%.
5.3.40. Двигатель автомобиля развивает мощность 55 кВт и потребляет 0,31 кг бензина на 1 кВт∙ч энергии. Определите кпд двигателя.
5.3.41. Найдите массу горючего, необходимого для тепловоза, состоящего из двух секций с дизелями мощностью 735 кВт в каждом при кпд 28%, чтобы пройти расстояние 103 км со средней скоростью 72 км/ч.
5.3.42. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в 3 раза выше абсолютной температуры холодильника. Какую долю тепла, получаемого за один цикл от нагревателя, газ отдает холодильнику?
5.3.43. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, имеет температуру нагревателя 227оС, температуру холодильника 127оС. Во сколько раз нужно увеличить температуру нагревателя, чтобы кпд машины увеличился в 3 раза?
5.3.44. Газ, совершающий идеальный цикл Карно, ¾ тепла, которое он получил от нагревателя, отдает холодильнику. Температура холодильника 0оС. Определите температуру нагревателя.
|
