3. Фундаментальные (гравитационные) взаимодействия
3.1. Общие сведения
Гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения; две материальные точки (тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними) притягиваются друг к другу с силой:
F = G m1 m2 / r2,
где G _ гравитационная постоянная, равная 6,67∙10-11 Н∙м2/кг2 m1 и m2 _ массы взаимодействующих материальных точек; r _ расстояние между ними.
Данный закон справедлив и для однородных шаров; при этом r _ расстояние между их центрами.
Движение планет вокруг Солнца и спутников вокруг планет (в том числе и искусственных) описывается законами Кеплера:
планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце;
радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, в равные отрезки времени описывает равные площади;
квадраты времени обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:
Т12 / Т22 = R13 / R23.
В случае круговой орбиты роль большой полуоси играет радиус орбиты.
3.2. Примеры решения задач
Задача 3.2.1. Найти величину скорости υ, с которой нужно вывести искусственный спутник Земли на круговую орбиту на высоту Н = 1600 км над поверхностью Земли. Радиус Земли R =6400 км, ускорение силы тяжести у поверхности Земли g = 9,8 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение: На высоте Н над поверхностью Земли на спутник действует сила тяготения
F = G∙ Mm / ( R + H )2,
где М _ масса Земли; m _ масса спутника.
Центростремительное ускорение спутника
а = υ2 / ( R + H ).
По второму закону Ньютона
G ∙ Mm / ( R + H )2 = m ∙ υ2 / ( R + H ),
откуда
υ = √ G ∙ M / ( R + H ).
У поверхности Земли сила тяжести Fm = G ∙ Mm / R2 сообщает телу массой m ускорение g. Поэтому G ∙ Mm / R2 = mg, откуда GM = gM2. С учетом последнего соотношения
υ = √ gR2 / ( R + H ) = R√ g / ( R + H ),
υ = 6,4∙106 м ∙ √ ( 9,8 м/с2 / 8,0∙106 м ) ≈ 7,1∙103 м/с = 7,1 км/с.
Задача 3.2.2. Какова максимальная сила гравитационного притяжения между двумя свинцовыми шарами с массой 45 кг каждый и диаметром 20 см? Сравните найденную силу с силой притяжения Земли.
Решение: Сила гравитационного притяжения между свинцовыми шарами
F = G ∙ ( m / R )2,
где m _ масса шара.
Подставляем численные значения:
F = 6,67∙10-11 ∙ ( 45 / 0,2 )2 = 3,37∙10-6 H.
Земля притягивает каждый из данных шаров с силой Fg = mg = 45 ∙ 9,8 = 440 H, т.е. более чем в 100 млн. раз сильнее их взаимного притяжения.
Задача 3.2.3. На какой высоте должен находиться спутник Земли, чтобы его период обращения был равен периоду обращения Земли? Известно, что спутник, летавший на расстоянии примерно 6400 км от центра Земли (первый искусственный спутник) имел период обращения Т = 5000 с.
Решение: В соответствии с третьим законом Кеплера
R23 = ( Т22 / Т12 ) ∙ R13,
где R1 и T1 _ соответственно радиус орбиты и период обращения первого искусственного спутника, а R2 и T2 _ радиус орбиты и период обращения спутника Земли, высота которого не известна.
Предполагается, что первый искусственный спутник удален от поверхности Земли на относительно небольшое расстояние по сравнению с радиусом Земли. А это означает, что R1 ≈ 6400 км и Т1 = Т = 5∙103 с. Нужно найти R2 при условии, что период Т2 равен 1 суткам или 8,6∙104 с.
Радиус обращения
R2 = R1 ∙ 3√ ( T2 / T1 )2 , R2 = 6400 км ∙ 3√ ( 86 / 5 )2 = 47000 км.
Спутник, пролетающий над экватором на высоте Н = R2 – R1 ≈ 40000 км, будет парить над одной и той же точкой земной поверхности, если, конечно, он вращается в ту же сторону, что и Земля.
Задача 3.2.4. Найдите численное значение второй космической скорости, т.е. такой скорости, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное тяготения и навсегда удалилось от Земли.
Решение. Сила притяжения между телом и Землей равна F = G ∙ mM / r2, где m _ масса тела; М _ масса Земли и r _ расстояние между ними.
Вблизи поверхности Земли r = R (R _ радиус Земли) и F = mg.
Значит, F = mg = G ∙ mM / R2.
Для того, чтобы тело удалилось от Земли, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была достаточна для преодоления потенциальной энергии сил тяготения, т.е.
mυ2 / 2 ≥ GmM / R.
Из последних двух уравнений следует:
υ ≥ √ 2gR.
После подстановки численных значений g и R имеем:
υ ≥ 11,2 км/с.
Задача 3.2.5. Оценить возможный радиус черной дыры для звезды, масса которой больше солнечной массы в 10 раз.( М = 10М0 = 10.2.1030кг = 2.1031кг;
G = 6,67.1011 Hм2/кг2 ; с = 3.108 м/с ). Определить: Rчд
Решение: Радиус черной дыры (без учета эффектов общей теории относительности) находится из условия равенства второй космической скорости и скорости света.
Вторая космическая скорость _ это скорость, с которой тело может уйти за пределы поля тяготения. Она находится из условия закона сохранения энергии в точке ( сумма кинетической Eкин и потенциальной Епот энергий), удаленной от центра тяготения на расстояние R , и на бесконечном расстоянии:
Епот R + Eкин R = Епот + Екин ;
m V2/2 – G m M/R = 0 + 0 ;
V11 =  2G M/R.
Приравнивая вторую космическую скорость к скорости света, получаем:
с = 2G M/R
Откуда R = 2G M/c2
R = 2 . 6,67.10-11 . 2.1031/ (3.108)2 =
= (2 . 6.67 . 2/9) . 10-11+31-16 = 2.9644.104м ≈
≈ 29,6.103м ≈ 30 км
Ответ: Rчд ≈ 30 км.
3.3. Задачи для самостоятельного решения
3.3.1. Оценить порядок значения силы взаимного тяготения двух кораблей, удаленных друг от друга на 100 м, если масса каждого из них 10000 т. Почему можно оценить только порядок значения силы?
3.3.2. Найти порядок значения силы, с которой притягиваются друг к другу два соседа по парте.
3.3.3. Во сколько раз уменьшится сила притяжения тела к Земле при удалении его от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли?
3.3.4. На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней станет в 100 раз меньше, чем на поверхности Земли?
3.3.5. Советская автоматическая межпланетная станция «Венера-6» 10 января 1969 г. находилась на расстоянии около 1,5х10+6 км от центра Земли. Во сколько раз сила притяжения станции к Земле была меньше, чем на поверхности Земли?
3.3.6. Каково ускорение свободного радения на высоте, равной половине радиуса Земли?
3.3.7. Советская космическая ракета 12 сентября 1959 г. доставила на Луну вымпел Советского Союза. Во сколько раз сила притяжения вымпела на Луне меньше, чем на Земле, если радиус Луны приблизительно в 3,8 раза меньше радиуса Земли, а ее масса в 81 раз меньше массы Земли?
3.3.8. Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а масса - 0,11массы Земли. Найти ускорение свободного падения на Марсе.
3.3.9. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 R ( где R – радиус Земли ). Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой, соединяющей их центры, тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковыми силами?
3.3.10. Средняя плотность Венеры равна 4900 кг/м 3 , а радиус планеты R = 6200 км. Найти ускорение свободного падения на поверхности Венеры.
3.3.11. Определите силу притяжения между космическим кораблем массой
m1 =20 т и космонавтом массой m2 = 70 кг, который находится в космосе на расстоянии 5 м от центра космического корабля. Какое ускорение способна сообщить эта сила космонавту?
3.3.12. Какую скорость необходимо сообщить телу, чтобы оно могло удалиться от поверхности Луны в бесконечность? Масса Луны МЛ = 7,3∙1022 кг; радиус Луны RЛ = 1740 км.
3.3.13. Найдите численное значение первой космической скорости, т.е. такой скорости, которую надо сообщить телу у поверхности Земли в горизонтальном направлении, чтобы оно начало двигаться вокруг Земли по круговой орбите в качестве ее спутника (радиус Земли R = 6400 км).
3.3.14. Определите линейную скорость движения Луны вокруг Земли, считая что Луна движется по круговой орбите. Принять массу Земли равной МЗ = =5,96∙1024 кг, а расстояние между Луной и Землей _ R = 3,844∙108 м.
3.3.15. Определите массу земли, если искусственный спутник, запущенный на высоту 1000 км, имеет период обращения 106 мин.
3.3.16. С какой линейной скоростью движется Земля вокруг Солнца, если расстояние между ними 1,5∙1011 м, а масса Солнца 1,97∙1030 кг?
3.3.17. На каком расстоянии от центра Земли космическая ракета, движущаяся к Луне, будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами в 60 раз больше радиуса Земли.
3.3.18. Найдите среднюю линейную скорость вращения Луны, считая среднее расстояние ее от Земли r = 384000 км, а массу Земли МЗ = 5,96∙1024 кг.
3.3.19. На сколько уменьшится вес тела на вершине Эльбруса (h = 6 км) по сравнению с его значением на уровне моря?
3.3.20. На какой высоте ускорение силы тяжести вдвое меньше его значения на поверхности Земли?
3.3.21. Планета Марс имеет два спутника _ Фобос и Деймос. Первый находится на расстоянии R1 = 9500 км от центра Марса, второй _ на расстоянии R2 = 24000 км. Найдите периоды обращения этих спутников вокруг Марса.
3.3.22. Какое линейное ускорение получает Земля под действием силы притяжения Солнца?
3.3.23. Определить радиус черной дыры в центре галактики с массой порядка 109 масс Солнца.
3.3.24. Оценить возможный радиус черной дыры для Солнца.
3.3.25. Определить радиус черной дыры для Сириуса.
3.3.26. Определить радиус черной дыры для Веги.
3.3.27. Определить радиус черной дыры для Бетельгейзе.
|
