4. Фундаментальные (электромагнитные) взаимодействия
4.1. Общие сведения
Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами по закону Кулона определяется формулой
F = q1 q2 / (4 π ε0 ε r2 ),
где q1 и q2 _ величины зарядов; ε0 _ электрическая постоянная
(ε0 = 8,85∙10-12 Ф/м); ε _ диэлектрическая проницаемость среды.
Напряженность электрического поля
Е = F / q,
где F _ сила, действующая на заряд q.
Напряженность поля нескольких зарядов равна векторной сумме напряженностей отдельных зарядов: Е = ∑ Et. Напряженность поля точечного заряда (равномерно заряженного шара или сферы) равна
Е = q / ( 4 η ε0 ε r2), где q _ величина точечного заряда (заряда шара или сферы).
Работа, совершаемая при перемещении заряда q в однородном электрическом поле А = q E s cosα, где s _ величина перемещения; α _ угол между направлениями векторов напряженности электрического поля и перемещения.
Потенциал в какой-либо точке электрического поля φ = W / q,
где φ _ потенциальная энергия заряда q, помещенного в данную точку.
Работа, совершаемая при перемещении заряда q из точки поля с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2: А = q(φ1 _ φ2).
Потенциал поля точечного заряда φ = q / 4 πε0ε r, где r _ расстояние от заряда.
Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением
Е = _ dφ / dr.
В случае однородного поля _ поля плоского конденсатора
Е = (φ1 – φ2) / d,
где φ1 – φ2 _ разность потенциалов между пластинами конденсатора;
d _ расстояние между ними.
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением
q = Сφ, где С _ емкость проводника.
Емкость плоского конденсатора С = ε0εS / d , где S _ площадь каждой пластины конденсатора.
Емкость уединенного шара С = 4 πε0ε r.
Емкость системы конденсаторов:
при параллельном соединении - С = С1 + С2 + С3 + …,
при последовательном соединении - С-1 = С1-1 + С2-1 + С3-1 + …
Энергия заряженного проводника
W = 1/2 ∙ qφ = 1/2 Cφ2 = q2 / 2C.
Объемная плотность энергии электрического поля W0 = ε0ε E2 / 2.
Сила тока I численно равно количеству электричества, проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени:
I = dq / dt.
Если I = const, то I = q / t.
Плотность электрического тока j = I / S, где S _ площадь поперечного сечения проводника.
Закон Ома для участка цепи I = U / R, где U _ разность потенциалов на концах участка и R _ сопротивление данного участка.
Сопротивление проводника R = ρ l / S, где ρ _ удельное сопротивление; l и S _ длина и площадь поперечного сечения проводника.
Работа электрического тока цепи
A = IUt = I2Rt = U2t / R.
Для замкнутой цепи закон имеет вид
I = ε/(R + r),
где ε _ э.д.с. источника тока; R _ внешнее сопротивление; r _ внутреннее сопротивление источника тока.
Полная мощность, выделяемая в цепи, P = εI.
Первый закон Кирхгофа _ алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю :
∑Ii = 0.
Второй закон Кирхгофа _ в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений потенциала на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме э.д.с. источников, включенных в данном контуре:
∑ IR = ∑ε.
В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа элемент контура dl, по которому течет ток I, создает в некоторой точке А пространства магнитное поле напряженностью
dH = I sinα dl /π r2 ,
где r _ расстояние от элемента dl до точки А, α _ угол между радиусом-вектором r и элементом dl.
Напряженность магнитного поля в центре кругового тока Н = I / 2R ,
где R _ радиус кругового контура с током.
Напряженность магнитного поля бесконечно длинного проводника с током на расстоянии а: H = I / 2πa.
Напряженность магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида и тороида Н = In, где n _ число витков на единицу длины.
Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного поля соотношением В = μ0μН, где μ0 _ магнитная постоянная (μ0 = 4π 10-7 Гн/м); μ _ магнитная проницаемость среды.
Объемная плотность энергии магнитного поля W0 = НВ / 2.
Поток магнитной индукции сквозь контур Ф = ВS cosφ , где S _ площадь контура; φ _ угол между нормалью к плоскости контура и направлением магнитного поля.
На элемент dl проводника с током, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера
dF = BI sinα dl,
где α _ угол между направлениями тока и магнитного поля.
Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся со скоростью υ в магнитном поле, определяется формулой Лоренца
F = qBυ sinα,
где α _ угол между направлениями скорости частицы и магнитного поля; q _ заряд частицы.
Э.д.с. электромагнитной индукции в соответствии с законом Фарадея
ε = _dF / dt.
Изменения потока магнитной индукции достигается, например, при изменении силы тока в самом контуре (явление самоиндукции). При этом э.д.с. самоиндукции
ε = _ L dI / dt,
где L _ индуктивность контура.
Индуктивность соленоида L = μ0μn2lS, где l _ длина соленоида; S _ площадь его поперечного сечения; n _ число витков на единицу длины.
Энергия магнитного поля контура с током
W = 1/2 LI2.
4.2. Примеры решения задач
Задача 4.2.1. Два одинаковых маленьких шарика, имеющих заряды
q1 = +10-3 Кл и q2 = _ 0.33∙10-3 Кл, приведены в соприкосновение и затем разведены на расстояние r = 20 см. Найдите силу взаимодействия между ними.
Решение: После соприкосновения на обоих шариках заряды стали одина-ковыми, причем суммарный заряд (в силу закона сохранения электрического заряда) не изменяется. Поэтому заряд каждого шарика после соприкосновения
q3 = (q1 + q2) /2;
q3 = {(1/103) – (1/3∙103)} /2 = 1/3 ∙10-3 Кл.
Сила взаимодействия между шариками
F =(1 / 4πε0ε) ∙ (q32 / r2).
Подставляя численные значения, получим F = 2500 Н.
Задача 4.2.2. Два металлических одинаково заряженных шарика массой 0,2 кг каждый находятся на некотором расстоянии друг от друга. Найдите заряд шариков, если известно, что на этом расстоянии их электростатическая энергия в миллион раз больше их взаимной гравитационной энергии.
Решение: Электростатическая энергия шариков
W1 = q2 / 4πε0ε r,
их взаимная гравитационная энергия
W2 = G ∙ m1m2 / r.
По условию
q2 / 4πε0ε r = nG ∙ m1m2 / 2,
где n = 106. Отсюда
q = √4πε0ε nGm1m2.
Подставляя численные данные задачи, получим q = 1,7∙10-8 Кл.
Задача 4.2.3. Медный шар диаметром 1 см помещен в масло. Плотность масла ρ1 = 800 кг/м3, плотность меди ρ2 = 8,6∙103 кг/м3. Чему равен заряд шара, если в однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в масле? Электрическое поле направлено вертикально вверх и его напряженность Е = 36 кВт/см.
Решение: На шар действуют три силы: сила электрического поля F1 , направленная вверх; сила тяжести Р, направленная вниз, и сила Архимеда F2, направленная вверх. В равновесии
Р = F1 + F2. (1)
Причем Р = mg = ρ2 ∙4/3 ∙ π r3 g, (2)
где ρ2 _ плотность меди;
F1 = Eq и F2 = ρ1 ∙ 4/3 ∙π r3 g, (3)
где ρ1 _ плотность масла.
Из формул (1), (2), (3) следует
q = {4πr3g(ρ2 – ρ1)} / 3E.
Подставляя численные данные, получаем q = 1,1∙10-3 Кл.
Задача 4.2.4. Электрическая лампа рассчитана на напряжение U1 = 50 B при силе тока I1 = 3.5 A. Ее надо включить в сеть с напряжением U = 120 B с помощью дополнительного сопротивления из никелиновой проволоки сечением 0,1 мм2 (удельное сопротивление никелина ρ = 0,40 Ом ∙ мм2/м). Определите длину проволоки.
Решение: Дополнительное сопротивление подсоединяется последовательно к лампе, поэтому сила тока на всех участках цепи одна и та же и равна I. Падение напряжения на дополнительном сопротивлении равно U – U1.
Сопротивление никелинового провода должно быть
R = (U – U1) / I;
его численное значение
R = (120B – 50 B) / 3.5 A = 20 Ом.
Из формулы R = ρ ∙ l/S находим l = RS / ρ.
После подстановки данных получаем l = 5,0 м.
Задача 4.2.5. На прямой провод длиной l = 2 м с током I = 50 А, расположенный в однородном магнитном поле под углом α = 300 к направлению магнитных линий поля, действует сила F = 5 Н. Определите индукцию магнитного поля.
Решение: На проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует сила Ампера
А = B I l sinα.
Индукция магнитного поля B = F / I l sinα.
После подстановки численных значений получим В = 0,1 Тл.
Задача 4.2.6. В катушке с индуктивностью L = 0.4 Гн возникает э.д.с. самоиндукции ε = 20 В. Определите скорость изменения тока в катушке.
Решение. Модуль э.д.с. самоиндукции ׀ε׀ = L ∙ dI / dt, откуда скорость изменения тока
dI / dt = ׀ ε׀ / L.
После подстановки численных значений получим dI /dt = 50 A/c.
4.3. Задачи для самостоятельного решения
4.3.1. С какой силой взаимодействуют два заряда по 10 нКл, находящиеся на расстоянии 3 см друг от друга?
4.3.2. На каком расстоянии друг от друга заряды 1 мкКл и 10 нКл взаимодействуют с силой 9 мН ?
4.3.3. Во сколько раз надо изменить расстояние между зарядами при увеличении одного из них в 4 раза, чтобы сила взаимодействия осталась неизменной?
4.3.4. Во сколько раз надо изменить значение каждого из двух одинаковых зарядов, чтобы при погружении их в воду сила взаимодействия при том же расстоянии между ними была такая же, как в воздухе?
4.3.5. Во сколько раз нужно изменить расстояние между двумя зарядами, чтобы при погружении их в керосин сила взаимодействия между ними была такая же, как в воздухе?
4.3.6. Во сколько раз сила электрического отталкивания между двумя электронами больше силы их гравитационного притяжения друг к другу?
4.3.7. Что устанавливает закон Ампера?
4.3.8. Чему равен модуль силы Ампера?
4.3.9. С какой силой действует магнитное поле с индукцией 10 мТл на проводник, в котором сила тока 50 А, если длина активной части проводника 0.1 м? Поле и ток взаимно перпендикулярны.
4.3.10. Протон и альфа-частица влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Сравнить радиусы окружностей, которые описывают частицы, если у них одинаковы: а) скорости; б) энергии. Заряд альфа-частицы в 2 раза больше заряда протона, а масса в 4 раза больше.
4.3.11. С какой силой притягивается электрон к ядру атома водорода, если диаметр атома водорода 10-8 см, а заряд электрона е = 1,6∙10-19 Кл?
4.3.12. Во сколько раз сила гравитационного притяжения между двумя протонами меньше их силы электростатического отталкивания? Заряд протона 1,6∙10-19 Кл, масса протона 1,7∙10-27 кг.
4.3.13. Дви одноименных заряда 6∙10-9 и 11∙10-9 Кл находятся на расстоянии 6 см друг от друга. На каком расстоянии между ними следует поместить третий заряд, чтобы система находилась в равновесии?
4.3.14. В центре квадрата расположен положительный заряд 2,5∙10-7 Кл. Какой отрицательный заряд следует поместить в каждой вершине квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии?
4.3.15. С какой силой действует электрическое поле в атмосфере на молекулу кислорода, содержащего один избыточный электрон, если напряженность поля в приземном слое атмосферы 130 В/м (заряд электрона
е = 1,6∙10-19 Кл)?
4.3.16. Два заряда 17∙10-9 и _ 6∙10-9 Кл находятся на расстоянии 5 см друг от друга. Найдите на прямой, проходящей через данные заряды, точку, в которой напряженность поля равна нулю.
4.3.17. Разность потенциалов электрического поля Земли между двумя точками, отстоящими по вертикали на 0,5 м, равна 60 В. Определите напряженность поля Земли в приземном слое, считая его однородным. Каков потенциал поля относительно Земли на высоте 10 м.
4.3.18. Эквипотенциальная линия проходит через точку с напряженностью
Е1 = 5 кВ/м, отстоящую от создающего поля заряда на расстоянии R1 = 2,5 см. На каком расстоянии от заряда проходит другая эквипотенциальная линия, чтобы разность потенциалов между линиями ∆φ = 25 В?
4.3.19. конденсатор емкостью С1 = 20 мкФ заряжен до напряжения U1 = 200 В. К нему присоединяется параллельно незаряженный конденсатор емкостью С2 = 300 мкФ. Какое напряжение установится после их соединения?
4.3.20. Конденсаторы емкостью 250 и 500 мкФ соединили параллельно и подключили к источнику постоянного напряжения 12 В. Найдите заряд каждого конденсатора, их общий заряд и общую емкость.
4.3.21. Найдите напряженность поля плоского конденсатора с расстоянием между пластинами 5∙10-2 м, если электрон, двигаясь вдоль силовой линии от одной пластины к другой, приобретает скорость 3∙106м/с.
4.3.22. Энергия плоского конденсатора, присоединенного в источнику тока с напряжением 300 В, равна 2,3∙10-2 Дж. Определите емкость такого конденсатора.
4.3.23. Два конденсатора емкостью С1 = 2 мкФ и С2 = 3 мкФ соединили последовательно и зарядили до разности потенциалов U = 1000 В. Найдите изменении энергии системы, если ее отключить от источника напряжения и одноименно заряженные обкладки конденсатора соединить параллельно.
4.3.24. Генератор постоянного тока дает во внешнюю цепь ток 10 А. Сопротивление внешней цепи 11,5 Ом. Определите э.д.с., индуцируемую в обмотке якоря, и напряженность на зажимах генератора, если сопротивление якоря 0,3 Ом.
4.3.25. Батарея из двух параллельно соединенных источников с э.д.с. 2 и 1,8 В и внутренним сопротивлением 0,05 Ом каждый замкнута на сопротивление 2 Ом. Найдите силу тока, проходящего через сопротивление и через источники.
4.3.26. Найдите длину медного провода, свернутого в бухту, не разматывая его, если при подсоединении его к источнику э.д.с. напряжением 30 В по проводу проходит ток 6 А. Сечение провода 1,5 мм2, удельное сопротивление провода 1,72∙10-8 Ом∙м.
4.3.27. Два параллельно соединенных сопротивления, из них одно сопротивление в 2 раза больше другого, включены в сеть напряжением 90 В. Найдите величину этих сопротивлений и ток в них, если до разветвления ток равен 1,5 А.
4.3.28. Генератор постоянного тока развивает э.д.с. 150 В и дает во внешнюю цепь ток 30 А. Определите мощность, предаваемую потребителю; мощность потерь внутри источника и кпд источника, если его внутреннее сопротивление 0,6 Ом.
4.3.29. При прохождении постоянного тока в течении 30 мин через сопротивление 5 Ом выделилась энергия 750 кДж. Определите величину тока и падение напряжения на сопротивлении.
4.3.30. По двум параллельным бесконечно длинным проводникам, находящимся на расстоянии d = 10 см друг от друга, текут токи противоположного направления величиной I = 30 А Определите напряженность магнитного поля в точке, расположенной посередине между проводниками. Чему равна напряженность магнитного поля в точке, которая находится на расстоянии r1 = 15 см от одного проводника и r2 = 5 cм от другого и расположена в плоскости, проходящей через оба проводника?
4.3.31. Определите величину тока в катушке радиусом 30 см, содержащей
600 витков, если в центре катушки напряженность магнитного поля
6000 А/м.
4.3.32. Чему равна механическая мощность, развиваемая при перемещении прямолинейного проводника длиной 20 см со скоростью 5 м/с в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл, если угол между направлением движения проводника и направлением вектора индукции магнитного поля составляет 90о, а величина тока в проводнике 50 А?
4.3.33. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 500 В, попал в вакууме в однородное магнитное поле и движется по окружности радиусом 10 см. Определите величину напряженности магнитного поля, если скорость электрона перпендикулярна вектору напряженности магнитного поля.
4.3.34. Через катушку радиусом R =2см, содержащую N =500 витков, проходит постоянный ток I = 5 А. Определите индуктивность катушки, если напряженность магнитного поля в ее центре Н = 104 А/м.
4.3.35. Определите энергию магнитного поля соленоида, содержащего
N = 500 витков, которые намотаны на картонный каркас радиусом R =2 см и длиной l = 0,5 м, если по нему течет ток I = 5A.
4.3.36. Оценить во сколько раз сила электростатического взаимодействия двух электронов между собой больше их гравитационного притяжения?
4.3.37. Оценить во сколько раз сила электростатического отталкивания двух протонов между собой больше их гравитационного притяжения?
4.3.38. С какой силой взаимодействуют два электрона, находящиеся на расстоянии 0,1 мм друг от друга?
4.3.39. С какой силой взаимодействуют электрон и протон в атоме водорода? Радиус орбиты электрона 0,53.10-10 м.
4.3.40. Оценить силу электростатического отталкивания в ядре двух протонов. Принять размеры ядра 10-15 м.
4.3.41. Сравнить для изотопа водорода 1Н2 силы гравитационного и кулоновского взаимодействия электрона и ядра изотопа.
|
