И науки республики татарстан институт развития образования республики татарстан

Скачать 1.7 Mb.

Название	И науки республики татарстан институт развития образования республики татарстан
страница	3/22
Дата публикации	04.12.2014
Размер	1.7 Mb.
Тип	Документы

100-bal.ru > Математика > Документы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 22

Пояснительная записка

Элективный курс «Задания с параметрами» для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов рассчитан на 14 часов.

В традиционных учебниках школьного курса математики этой теме уделяется очень мало внимания. Но задания с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у учащихся.

Решение этих заданий часто вызывает затруднения у учащихся. Это в первую очередь связано с тем, что редко какая задача может быть решена только с использованием определенного алгоритма. При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов, теорий и методов решения. Для успешного решения задач с параметрами необходимо свободно владеть всем теоретическим материалом. Но и при хорошем знании теории приобрести навык в решении задач можно лишь решив достаточно много задач, начиная с простых и переходя к более сложным. Учащиеся, владеющие методами решения заданий с параметрами, успешно справляются и с другими задачами.

Целью данного курса является систематизация и углубление ранее изученных знаний и приобретенных умений и навыков, создание целостного представления о теме и расширение спектра заданий.

Цели курса:

систематизировать знания учащихся о параметрах;

- расширить представление учащихся о методах и приемах решения заданий с параметрами;

- создать целостное представление о теме, тем способствовать овладению комплексом математических знаний, умений и навыков;

- расширить спектр учебных заданий по теме;

- раскрыть практическое значение материала;

развитие аналитического и логического мышления;
формирование математической культуры;
развивать коммуникативные и общеучебные умения и навыки

( аргументировать ответы, вести дискуссии и т.д.)

- способствовать развитию учебной мотивации учащихся и осознанному

выбору дальнейшего профиля обучения.

Учащиеся должны знать:

- понятие уравнения, неравенства и системы с параметром;

- понятие контрольного значения параметра;

- классификацию уравнений, неравенств с параметром;

- алгоритмы решения уравнений, неравенств с параметром;

- параметрический анализ рациональных соотношений;

- функционально – графический метод решения задач с параметром.

Учащиеся должны уметь:

- выделять контрольные значения параметра;

- решать линейные уравнения, содержащие параметр;

- решать квадратные уравнения с параметром;

- решать системы уравнений с параметром;

- решать неравенства, содержащие параметр;

- использовать функционально- графический метод;

- пользоваться параметрическим анализом рациональных соотношений и соотношений рациональных выражений и модулем.

Виды деятельности:

- лекция;

- беседа;

- практикум;

- консультации;

- исследовательская работа; творческая работа;

- работа с компьютером ( при использовании функционально- графического метода);

Учебно-тематический план

№	Наименование темы	Количество часов
1	Линейные уравнения, неравенства и системы.	3
2	Квадратные уравнения, неравенства и системы.	3
3	Параметрический анализ соотношения модуля с рациональными выражениями.	3
4	Функционально – графический метод решения задач с параметрами .	3
5	Итоговое занятие. Лаборатория творческих и исследовательских работ.	2

Содержание программы:
Данный курс состоит из четырех тем:

Линейные уравнения, неравенства и системы.
Квадратные уравнения, неравенства и системы.
Параметрический анализ соотношения модуля и рациональных выражений.
Функционально – графический метод решения задач с параметрами.

Курс завершается итоговым занятием (лабораторией творческих и исследовательских работ), на котором учащиеся предлагают и защищают свой подход к решению той или иной задачи, защищают рефераты, проекты.
На каждую тему отведено по 3 часа.
На первом занятии - обзорные лекции, в которых кратко освещается весь теоретический материал по теме, обращается внимание учащихся как на логику решения заданий, так и на поиск методов решения. Лекции иллюстрируются и дополняются решением заданий, которые либо включаются в содержание лекции и демонстрируются учителем, либо решаются с помощью учителя.

На втором занятии рекомендуется проведение уроков-практикумов в виде бесед, в ходе которых учащиеся под руководством учителя решают задания. Здесь формируются умения формировать доказательные суждения и применять весь багаж знаний теории в ходе решения заданий, развивать творческие способности, вести дискуссии.

На третьем занятии учитель выступает в роли консультанта при выполнении исследовательской или творческой работы и проводит индивидуальную работу с учащимися.

Учащимся предоставляется возможность выполнять работу на компьютере.

Предлагаемые задачи варьируются по трудности от простых учебных до сложных, предлагаемых на вступительных экзаменах или олимпиадах. Выбор заданий для самостоятельных исследований учащимися проходит дифференцированно.

При изложении материала преподавателем следует обратить внимание на анализ содержания условия задачи и развития ее сюжетной линии, используемые методы решения, отслеживание причинно-следственных связей в рассуждениях.

В результате освоения данного курса учащиеся получают такую практику, которая поможет им в дальнейшем успешно осваивать программу старшей профильной школы. На занятиях у учащихся развивается интерес к математике, когда они чувствуют в ней логику, математическую культуру и красоту.
Если в уравнении или в неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

1) определить, при каких значениях параметров существуют решения,

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Существуют другие формы условий заданий с параметрами – исследовать уравнение, определить количество решений, найти положительные решения, найти наименьшее значение и другие.

1) Линейные уравнения, неравенства и системы. ( 3 часа)

1.Уравнение вида ах = в, где а,в , называется линейным относительно

неизвестного х.

Возможны три случая:

а 0, в - любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х =.

2. а = 0, в = 0.Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все х.

3. а = 0, в 0. Уравнение 0х = в решений не имеет.

Примеры:

1) Решить уравнение: а²х – а = 4х + 2.

2) При каких а уравнение 6(ах - 1) + а = 3(а-х) + 7 имеет бесконечно много решений?

3) При каких а уравнение 2(3х-2а) = 2 + ах не имеет решений?

4)При каких а каждый корень уравнения 3(х+а) = 6 - а удовлетворяет условию

х

?

5)Решить уравнение:

2. Неравенства вида ах в и ах в называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах в - промежуток , если а 0, и ,если а 0. Аналогично для неравенства ах в множество решений - промежуток , если а 0, и , если а 0.

Примеры:

1) Решить неравенство: а(3х-1)

3х-2.

2) Решить неравенство: (а² –2а – 3) х – а

Решить неравенство:

4) При каких а неравенство

выполняется для всех х

?

5) Решить неравенство:

3. Система двух линейных уравнений с двумя переменными

а₁х + в ₁у = с ₁

а ₂х + в ₂у = с₂

может иметь единственное решение, бесконечно много решений и не иметь решений, что геометрически интерпретируется соответственно как пересечение, совпадение и параллельность прямых, являющихся графиками уравнений системы.

Примеры:

1

) Решить систему уравнений 2х + ( 9а² –2)у = 3а

х + у = 1

2

)При каких а система уравнений ах + у = 2

х – у = 3 имеет единственное решение?

3

)Найти а , при которых решения системы 3х – 6у = 1

5х – ау = 2 удовлетворяет

условиям х

0 и у

0.

4

) При каких с и в системы уравнений

х - 3у = в² – 2 2х + 4ву = 3с + 2

2х = у = 5 х + 2у = 4 являются равносильными?

5) Числа а, в, с таковы, что система ах – ву = 2а – в

(с + 1)х + су = 10 – а + 3в

имеет бесконечно много решений, причем х=1, у= 3 – одно из этих решений.

Найти а, в, с.
4. Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств ( система неравенств с одной переменной).

Примеры:

1

) При каких а система неравенств 3 – 6х

2х – 13

3 + 2х

а + х не имеет решений?

2) При каких а система неравенств -2(а + 4х)

-3 + х

5 – 3х

2 + 4(х – а) имеет хотя бы одно решение?

Решить систему неравенств :

.

Решением системы неравенств с двумя неизвестными называется любая упорядоченная пара чисел, обращающая каждое неравенство в верное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств является пересечение множеств решений неравенств, входящих в систему.

Система двух линейных неравенств может не иметь решений лишь в случае, когда прямые, определяющие неравенства, параллельны. Если же прямые пересекаются, то при любой комбинации знаков неравенств решения системы существуют.

4) При каких а система неравенств 2х – (а + 1)у

2а + 2

(а – 5)х + 4у

а – 9 имеет решения?
5

) При каких а система неравенств -х + у

2

-2х + у

а

ах + у

2 имеет единственное решение?

Квадратные уравнения, неравенства и системы.

1. Уравнение вида ах+вх +с = 0, где а,в,с – действительные числа, а0 называется квадратным уравнением. D = в- 4ас

D0, то уравнение не имеет действительных корней;

D0, то уравнение имеет два действительных корня

D= 0, то уравнение имеет один корень.

х=

а) Задание на нахождение корней квадратного уравнения.

1. Решить уравнение:

б) Задание на исследование количества корней в зависимости от значений параметров.

1. Найдите наименьшее целое а, при котором уравнение

х+ (2а +3)х + а- а + 5 = 0 имеет два различных корня.

При каких а уравнение ( а² – 6а +5) х² – (а² – 3а +2 ) х + а² – а = 0 имеет более двух корней?

в) Задание на установление равносильности уравнений.

Найти все пары (а;в) , для которых уравнения х² –ах + а = 0 и х² +вх – 2в = 0 равносильны.

г) Задания на соотношения между корнями квадратных уравнений (применение теоремы Виета)

1. При каких а сумма квадратов двух различных корней уравнения ах² +6х – 6 = 0 больше 3?

2. При каких а разность корней уравнения 2х² – ( а+1)х + (а –1) = 0 равна их произведению?

3. При каком а один из корней уравнения х² – 5х – 3а = 0 будет втрое больше одного из корней уравнения х² – 6х +4а = 0?

д) Задания на взаимное расположение корней уравнения.

1.При каких а уравнение х³ – (2а +1)х +3х – 4 =0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2 ?

При каких а корни уравнения ах² – (2а +1)х +3а – 1 =0 больше 1 ?
При каких а корни квадратного трехчлена (2а – 2)х² +(а +1)х +1 больше -1,

но меньше 0?

При каких а один из корней уравнения х² – (2а +1)х + а² + а – 2 = 0 находится между числами 1 и 3, а второй – между числами 4 и 6?

е) Уравнения приводимые к квадратным.

1. При каком наименьшем целом значении параметра а уравнение

(х² – 2х)² –(а + 2) (х² – 2х) +3а – 3 =0 имеет четыре различных корня?

2. При каких а все решения уравнения х

+ (х +1 )((3а – 2)х² +(2а² – а – 3)(х + 1)) = 0

принадлежат отрезку от -3 до 0 ?

2. Неравенства вида ах+вх +с 0, ах+вх +с 0, ах+вх +с 0, ах+вх +с 0, где а,в,с – действительные числа, а0 называются квадратными.

Если квадратный трехчлен имеет корни (хх), то при а0 он положителен на множестве и отрицателен на интервале (х₁;х₂).

При а0, трехчлен отрицателен на множестве и положителен на интервале (х₁;х₂).

Решить неравенство: х²- 2(а +1)х +4а0.
Решить неравенство:
При каких а неравенство (а – 1)х² +(2а + 2)х + 2а – 1 0 выполняется только для одного значения х?
При каких а любое решение неравенства х² – 4ах +х +3а² – 5а - 20 является решением неравенства х² – 2ах + а² – 1 0?
При каких а множеством решений неравенства х² – 2ах – 3 0 будет отрезок длины 4?

Параметрический анализ соотношения модуля и рациональных выражений.

1. При каких а система уравнений у =

у = ах +1 имеет два решения?

2. При каких а уравнение имеет решение?

3. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от а ?

4. Решить неравенство

5. Найдите все значения параметра а , при которых уравнение

имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 5.

6. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от значения параметра а ?

7. Найдите все значения параметра а , при которых графики функций

у =

и у = (х +а)² имеют одну общую точку.

8. Найдите наименьшее целое значение параметра а , при котором

с

истема неравенств

(х – 11) (а – х)

0 не имеет решений.

9.Укажите значение параметра а ( если оно единственное ) или сумму значений, при которых уравнение

имеет единственное решение.

10.Найдите все значения параметра а , при которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Функционально-графический метод решения задач с параметрами.

Каждое уравнение можно рассматривать как функцию одной или нескольких переменных и решать, используя свойства функций.

На графической иллюстрации показывается не как параметр а зависит от переменной х, а как переменная х зависит от а , что является необычным и интересным приемом.

Найти множество значений функции у =
Сколько корней имеет уравнение
Решить уравнение
При каких а уравнение имеет два решения.
При каких а область значений функции у= не содержит ни одного целого четного числа ?
Дана функция у= f(x), где f(x) = При каком а функция

у = f(x +а) является четной?

4. При каких а график функции f(x) =

имеет вертикальную ось симметрии ?

5. При каком а наименьшее значение функции f(x)=

на отрезке

отрицательно ?

6. При каких а функция f(x) = ах² +4х + 5 имеет наибольшее значение и это значение больше 5,5 ?

7

. При каких а уравнение

имеет решение.

8. Найти а , при которых система х² + у² = 2а

ху = а -

имеет ровно два решения.

9. Найти все а, для которых существует хотя бы одна пара х и у таких, что

х² +(у – 2)²

у = ах².

1

0. Найти все а , при которых система уравнений

у = х² +1

х² +(у- а)² = 1 имеет более двух решений .

11. При каких значениях параметра а площадь фигуры, заданной системой неравенств

у² +х² –2ах

36 – а²

(х + 2)²

36 , равна 18

?

Итоговое занятие. Смотр знаний.

Лаборатория творческих и исследовательских работ.

Учащимся предоставляется возможность выполнять работу на компьютере.

Предлагаемые задачи варьируются по трудности от простых учебных до сложных, предлагаемых на вступительных экзаменах или олимпиадах. Выбор заданий для самостоятельных исследований учащимися проходит дифференцированно.
Литература:

Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы: Учебное пособие. – М.: АРКТИ, 2003.
Фальке Л.Я., Лисничук Н.Н. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2002.
Шайхмейстер А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ. 1-е изд. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004.
Гуськова Л.Н. Задачи с параметрами. Методическое пособие. Казань,1997.

5. Тесты. Математика. Варианты и ответы централизованного (абитуриентского) тестирования. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2001-2004.

Программа

элективного курса по химии для IХ класса

«Металлы в окружающей среде и здоровье человека»
Н.А. Галеева, методист ИРО РТ