Решение сферических треугольников 19

Скачать 315.29 Kb.

Название	Решение сферических треугольников 19
страница	5/7
Дата публикации	15.12.2014
Размер	315.29 Kb.
Тип	Решение

100-bal.ru > Математика > Решение

1 2 3 4 5 6 7

Равнобедренные сферические треугольники

Сферический треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Всякий сферический треугольник, наложимый на треугольник, ему симметричный, - равнобедренный.

Действительно, мы знаем, что в силу того, что оба треугольника имеют противоположное расположение, невозможно наложить один треугольник на другой так, чтобы совпадали соответственные вершины, т.е. вершины, находящиеся первоначально на концах одного диаметра; если бы среди сторон треугольника не было равных между собой, то такое наложение было бы невозможно и ни каким другим образом.

Обратно, всякий равнобедренный сферический треугольник наложим на треугольник, ему симметричный.

Если треугольник А'В'С' симметричен треугольнику АВС и если АВ равно АС, то два треугольника АВС и А'С'В', имеющие (при выбранном порядке вершин каждого из них) одно и тоже расположение, равны по второму признаку равенства.

Теорема 2. В равнобедренном сферическом треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны.

Действительно, при совмещении треугольника АВС (АВ=АС) с симметричным ему треугольником А'С'В' угол, совпадающий с углом В', есть угол С'; таким образом, оба эти угла равны, и тоже самое имеет место и для углов С и В'.

Обратно, всякий сферический треугольник, два угла которого равны, равнобедренный.

Действительно, если АВС сферический треугольник, в котором В=С и треугольник А'В'С' – треугольник, ему симметричный, то треугольники АВС и А'С'В', имеющие одинаковое расположение равны по первому признаку равенства, и, следовательно, АВ=А'С'=АС.

Площадь сферического треугольника

Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с площадью плоской фигуры, действительное число, удовлетворяющее следующим четырём требованиям:

площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности),
площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности),
если сферическая фигура разложена на две сферические фигуры, то площадь данной фигуры равна сумме площадей двух фигур, на которые она разложена (свойство аддитивности),
Площадь всей сферы радиуса R равна 4R² (свойство нормировки).

Прежде всего найдём площадь двуугольника. Из свойства аддитивности, инвариантности и нормировки следует, что если разделить сферу на n равных двуугольников (рис. 16), то площадь каждого из них (т.е. площадь двуугольника с углом

) равна

. Поэтому площадь двуугольника с углом

, составленного из m рассмотренных двуугольников, равна

, а если угол некоторого двуугольника больше

и меньше

, то площадь этого двуугольника заключена между

(это вытекает из первого и третьего свойств площади). Неограниченно увеличивая число n, мы можем с помощью предельного перехода найти площадь любого двуугольника: площадь двуугольника, углы при вершинах которого равны, равна

,

т.е. . (1)

Рис. 16 Рис. 17

Если нам дан сферический треугольник АВС, то пара больших окружностей, проходящих через две его стороны, определяет два двуугольника, углы которых равны углу сферического треугольника между этими сторонами (рис. 17). Всего таким образом получается шесть двуугольников, два с углом А, два – с углом В и два – с углом С. Треугольник АВС и диаметрально противоположный ему треугольник А'В'С' (равный треугольнику АВС), входят в три двуугольника, остальные точки сферы (не лежащие на сторонах двуугольников) входят только в один двуугольник. Поэтому сумма площадей шести двуугольников равна сумме площади S всей сферы и учетверённой площади S() треугольника АВС, т.е.

2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S().

Так как

S(A)=2r²A, S(B)=2r²B, S(C)=2r²C,

То мы получаем

4r² (A+B+C)=4r²+4S(),

т.е.

S () =r² (A+B+C-). (2)
Так как величины S() и r² положительны, то величина А+В+С- также положительна, откуда следует, что

А+В+С,

т.е. сумма углов сферического треугольника больше развёрнутого угла. Величина А+В+С- называется угловым избытком сферического треугольника.

Таким образом, площадь сферического треугольника равна произведению его углового избытка на квадрат радиуса сферы.

Заменяя в последнем неравенстве углы А, В и С равными им выражениями где, а', b', с' – стороны полярного треугольника, мы получим неравенство

а'+ b'+ с' 2r,

показывающее, что сумма сторон сферического треугольника меньше длины большой окружности.

1 2 3 4 5 6 7

Похожие:

	Урок геометрии в 9 классе Тема урока: «Решение треугольников» Треугольник”, повторим определение, элементы, виды, свойства треугольников и каждый раз будем удивляться полученным открытиям, удивительной...		Решение задач по теме Свойства прямоугольных треугольников. Признаки... Образовательное учреждение: Песочнодубровская сош, Кожевниковского района, Томской области
	Урок 6 Решение треугольников Цели: познакомить учащихся с методами решения треугольников; закрепить знание учащимися теорем синусов и косинусов, научить применять...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: ввести понятие подобных фигур, подобных треугольников, научить на основе определения подобных треугольников доказывать подобие...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: изучение понятия внешнего угла треугольника, теоремы о сумме углов треугольника и её следствий: свойства внешних углов...		Урок геометрии в 7 классе. Учитель: Клименко И. И. Тема урока: «Первый... Цели урока: доказать первый признак равенства треугольников; научиться решать задачи на первый признак равенства треугольников. (Слайд...
	План-конспект урока тема урока: «Теорема синусов. Решение треугольников» Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №23		Решение треугольников Цель урока: провести промежуточный контроль знаний, умений и навыков учащихся, с целью их корректировки и подготовки к контрольной...
	Уроки геометрии в 9-м классе по теме " Решение треугольников" Определите вид треугольника, не вычисляя его углов, если известны его стороны (Презентация, слайд 1)		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать: определение треугольника, равнобедренного и равностороннего треугольника, признаки равенства треугольников, свойства прямоугольных...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Сформировать понятие признаков равенства прямоугольных треугольников на основе признаков равенства треугольников		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: ввести определение подобных треугольников; доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников и рассмотреть применение...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: доказать третий признак подобия треугольников, рассмотреть решение задач с применением изученных признаков подобия		Урока «Решение задач по теме «Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник» Показать, что источник возникновения изучаемой дисциплины – реальный мир, что она возникла из практических потребностей людей
	Тема: Подобие Содержание: Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников. Теорема отношений площадей подобных...		Повторение курса 8 класса. Решение задач Цели: вспомнить с учащимися сведения, необходимые при изучении геометрии в 9 классе; повторить некоторые свойства треугольников и...

Школьные материалы