Решение сферических треугольников 19

Скачать 315.29 Kb.

Название	Решение сферических треугольников 19
страница	6/7
Дата публикации	15.12.2014
Размер	315.29 Kb.
Тип	Решение

100-bal.ru > Математика > Решение

1 2 3 4 5 6 7

Сферическая теорема синусов

инусы сторон сферического треугольника относятся как синусы противолежащих углов.

Пусть длины сторон сферического треугольника (рис. 18) равны а, b, с, а противолежащие им углы этого треугольника равны А, В, С соответственно, r- радиус сферы, тогда

Теорема косинусов

П
Рис. 18
усть длины сторон сферического треугольника (рис. 18) равны а, b, и с, θ- угол, противолежащей стороне с, R- радиус сферы, тогда

Cos(c/R)=cos(a/R)*Cos(b/R)+sin(a/R)*sin(b/R)*cosθ

Решение сферических треугольников

Выведенные нами тригонометрические соотношения позволяют «решить сферический треугольник» по любым трем из его элементов (сторон и углов). Если нам даны три стороны сферического треугольника, то по формуле, выражающей теорему косинусов, находим

и аналогично находим соs В и соs С.

Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол между ними, например стороны b, с и угол А, то сторону а найдем из теоремы косинусов. Зная все три стороны сферического треугольника, найдем его остальные углы, как указано выше.

Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол, лежащий против одной из них, например стороны а, b и угол A, то по теореме синусов находим

.

Заметим, что эта формула даёт для В два значения, дополняющих друг друга до; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными сторонами и равными углами, лежащими против одной из этих сторон, не обязательно равны, а возможен случай, когда углы этих треугольников, лежащих против другой стороны, дополняют друг друга до л, как мы это видели, рассматривая четвёртый признак равенства сферических треугольников.

Для определения стороны с и угла С проведём через вершину С дугу большой окружности АВ. Если эти большие окружности пересекаются в точке D, то рассмотрим прямоугольные сферические треугольники АСD и ВСD (рис. 19). В этих треугольниках известны гипотенузы b и а и углы при вершинах А и В. Второй катет каждого из этих треугольников определяется по первым формулам тангенсов, а угол при вершине С определится по формуле котангенсов.

Рис.19

Сторона с и угол C сферического треугольника АВС являются суммами найденных сторон или углов прямоугольных треугольников, если точка D лежит на стороне АВ, и разностям и этих сторон или углов, если точка D лежит на продолжении стороны АВ. Именно, если оба угла A,В в исходном треугольнике АВС являются острыми или оба тупыми, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку C, пересекает окружность АВ в двух точках, одна из которых лежит на дуге АВ; эту точку и следует принять за D в рассматриваемом случае. Таким образом, углы при вершинах А и В в прямоугольных треугольниках АСD и ВСD совпадают с углами А и В исходного треугольника АВС, а сторона с и угол С треугольника АВС являются суммами найденных нами сторон или углов прямоугольных треугольников АСD и ВСD. Если же в треугольнике АВС один из углов A, В острый, а второй—тупой, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку С, пересекает окружность АВ в двух точках, ни одна из которых не лежит на дуге АВ. В этом случае за D можно принять

Любую из этих точек, например ту, которая лежит на продолжении стороны АВ за точку В (рис. 20).

Рис. 20

Таким образом, угол при вершине А в ∆АСD равен углу А треугольника АВС, а угол при вершине В в ∆ВСD равен  — В. При этом сторона с и угол С треугольника АВС являются разностями сторон АD, ВD или углов при вершине С треугольников АСD и ВСD. Наконец, если один из углов A, В (например, А) прямой, то треугольник АВС прямоугольный, и для нахождения стороны с и угла С можно в атом случае воспользоваться формулами

.

Если нам даны три угла сферического треугольника, то по формуле

двойственной теоремы косинусов находим

и аналогично по формулам (24) и (25) находим

.

Если нам даны два угла сферического треугольника и сторона между ними, например сторона а и углы B и C, то угол А найдем но формуле (23) двойственной теоремы косинусов. Зная все три угла сферического треугольника, найдем его остальные стороны, как указано выше.

Если, наконец, нам даны два угла сферического треугольника и сторона, лежащая против одною из них, например углы А и В и сторона а, то по теореме синусов находим

.

Заметим, что эта формула дает для b два значения, дополняющих друг друга до r; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными углами и равными сторонами, лежащими против одного из этих углов, не обязательно равны, а возможен случай, когда стороны этих треугольников, лежащие против другого угла, дополняют друг друга до r, как мы это видели, рассматривая V признак равенства сферических треугольников. Сторону с и угол С по углам А, В и сторонам а, b мы найдем, как указано выше.

1 2 3 4 5 6 7

Похожие:

	Урок геометрии в 9 классе Тема урока: «Решение треугольников» Треугольник”, повторим определение, элементы, виды, свойства треугольников и каждый раз будем удивляться полученным открытиям, удивительной...		Решение задач по теме Свойства прямоугольных треугольников. Признаки... Образовательное учреждение: Песочнодубровская сош, Кожевниковского района, Томской области
	Урок 6 Решение треугольников Цели: познакомить учащихся с методами решения треугольников; закрепить знание учащимися теорем синусов и косинусов, научить применять...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: ввести понятие подобных фигур, подобных треугольников, научить на основе определения подобных треугольников доказывать подобие...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: изучение понятия внешнего угла треугольника, теоремы о сумме углов треугольника и её следствий: свойства внешних углов...		Урок геометрии в 7 классе. Учитель: Клименко И. И. Тема урока: «Первый... Цели урока: доказать первый признак равенства треугольников; научиться решать задачи на первый признак равенства треугольников. (Слайд...
	План-конспект урока тема урока: «Теорема синусов. Решение треугольников» Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №23		Решение треугольников Цель урока: провести промежуточный контроль знаний, умений и навыков учащихся, с целью их корректировки и подготовки к контрольной...
	Уроки геометрии в 9-м классе по теме " Решение треугольников" Определите вид треугольника, не вычисляя его углов, если известны его стороны (Презентация, слайд 1)		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать: определение треугольника, равнобедренного и равностороннего треугольника, признаки равенства треугольников, свойства прямоугольных...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Сформировать понятие признаков равенства прямоугольных треугольников на основе признаков равенства треугольников		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: ввести определение подобных треугольников; доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников и рассмотреть применение...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: доказать третий признак подобия треугольников, рассмотреть решение задач с применением изученных признаков подобия		Урока «Решение задач по теме «Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник» Показать, что источник возникновения изучаемой дисциплины – реальный мир, что она возникла из практических потребностей людей
	Тема: Подобие Содержание: Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников. Теорема отношений площадей подобных...		Повторение курса 8 класса. Решение задач Цели: вспомнить с учащимися сведения, необходимые при изучении геометрии в 9 классе; повторить некоторые свойства треугольников и...

Школьные материалы