Решение сферических треугольников 19
Скачать 315.29 Kb.
|
ЗаключениеИзучая теорию по сферической геометрии и рассматривая практические задачи, я пришла к выводу, что элементы сферы: углы, отрезки, многоугольники рассматриваются иначе, чем эти же фигуры на плоскости или в пространстве в евклидовой геометрии. По разному трактуются знакомые нам теоремы. Например, мы знаем, что сумма углов треугольника 180 градусов, вот сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180 градусов.  (измеряется в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника.В школьном курсе геометрии мы изучали, что минимальнее число вершин многоугольника равно трём. Действительно, нельзя построить многоугольник с меньшим числом вершин. Изучая сферическую геометрию, я узнала новую для меня фигуру — двуугольник. Думаю, что собранный мной материал можно использовать в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, при подготовке к олимпиадам по математике, а так же на внеклассных занятиях для расширения кругозора учеников. ПриложениеЗадачи и понятия навигации тесно связаны со сферической геометрией. Навигация (от латинского navigatio - плыву на судне) - одна из наиболее древнейших наук. Простейшие задачи навигации - это определение кратчайшего маршрута и выбор направления движения, встали перед самыми первыми мореплавателями. В настоящее время пи задачи приходится решать и летчикам, и космонавтам. Рассмотрим несколько задач. ЗАДАЧА 1 Известны географические координаты - широта и долгота пунктов А и В земной поверхности а, b, а, b требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами А и В вдоль земной поверхности. (радиус Земли считается известным: R=6371км).   Решение: Напомним сначала, что широтой пункта М земной поверхности называется величина м угла, образованного радиусом ОМ, где О центр Земли, с плоскостью экватора: -90°м90, причем к северу от экватора широта считается положительной, а к югу – отрицательной. Долгота м пункта М есть величина двугранного угла между плоскостями СОМ и СОН, где С - северный полюс, а Н – точка, отвечающая гринвичской обсерватории:-180м180(к востоку от гринвичского меридиана долгота считается положительной, к западу -отрицательной). Кратчайшее расстояние между пунктами А и В земной поверхности - это длина меньшей из дуг большей окружности, она называется ортодромией, соединяющей А с В. Поэтому наша задача сводится к определению длины стороны АВ сферического треугольника ABC. Сферическое расстояние от пункта А до В находим по формуле: ABS = R АОВ Для того, чтобы найти АОВ необходимо знать AOC, СОА, C.Пусть СОВ = , тогда: а =90° - BOK, т.к COK =90°, т.е. =90°-в. Пусть COA = , тогда, = 90° - AON, т.к CON - 90°,т.е. =90° -а  C выразим через координаты точке А и В. По определению C < 180 , поэтому либо C=а -в, если а - в180°,либоС=360°- а -в, если а -в>180° Затем находим АОВ Пусть AOB = , тогда: Cos = cos cos + sin sincosC - по теореме косинусов Cos = cosа cosb соs (а - b) + sina sinb зная косинус, находим АВС; авs =ry ЗАДАЧА 2 Вычислить начальный курс корабля при движении по ортодромии из А в В, если известны географические координаты этих точек а, и в и в. РЕШЕНИЕ: для начала необходимо вспомнить, что ортодромия - это кратчайший путь на сфере Курсом корабля в точке М называется величина угла, образованного меридианом, проходящим через М, и продольной плоскостью судна. Таким образом, начальный курс судна в точке А - это  угол CAB Для вычисления этого угла применим теорему косинусов сферическому треугольнику ABC: cosCOB = cosCOA cosAOB + sin COАsin AOB cos A Подставим cos, который мы нашли в задаче №1, получаем cos А = - (sinb-sina(sina sinb) + cosa cosb cos(a-b))/(cosa cos) Для того чтобы решить следующую задачу введем понятие "локсодромия": Локсодромиями называют прямые, пересекающие меридианы под постоянным углом ЗАДАЧА 3 Пусть О - центр земного шара; АаВ - дуга круга широты, и надо доказать, что ортодромия короче локсодромии. РЕШЕНИЕ : Пусть АаВ - дуга большого круга, тогда АО = OB = R, т.к. точка А и точка В лежат на широте 60 , т.е.радиусы ОА и ОВ составляют с ОС угол в 30 АСО - прямоугольный AC = N n=1/2r, ac = 1/2r. Длина дуги АВ составляет 1/6 длины окружности широты, а т.к..круг этот имеет вдвое меньше длину, чем большой круг, то длина малого круга равна: АВ=1/6*4000/12=333,3 (км) для того чтобы определить длину дуги большого круга - АаВ, надо знать градусную мepy AOB АВ = N. т.к АВ - есть сторона правильного шестиугольника, стягивающего дугу в 60 , АВ = R/L Проведем OD/AD = DB и рассмотрим ODA, он прямоугольный, т.к.D = 90. З |
АДАЧА 4
,
, где R — радиус земного шара, выраженный в морских милях.
радиан.
3116.7 миль.
5772 км.Похожие:
 | Урок геометрии в 9 классе Тема урока: «Решение треугольников» Треугольник”, повторим определение, элементы, виды, свойства треугольников и каждый раз будем удивляться полученным открытиям, удивительной... | | Решение задач по теме Свойства прямоугольных треугольников. Признаки... Образовательное учреждение: Песочнодубровская сош, Кожевниковского района, Томской области |
 | Урок 6 Решение треугольников Цели: познакомить учащихся с методами решения треугольников; закрепить знание учащимися теорем синусов и косинусов, научить применять... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: ввести понятие подобных фигур, подобных треугольников, научить на основе определения подобных треугольников доказывать подобие... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: изучение понятия внешнего угла треугольника, теоремы о сумме углов треугольника и её следствий: свойства внешних углов... | | Урок геометрии в 7 классе. Учитель: Клименко И. И. Тема урока: «Первый... Цели урока: доказать первый признак равенства треугольников; научиться решать задачи на первый признак равенства треугольников. (Слайд... |
| План-конспект урока тема урока: «Теорема синусов. Решение треугольников» Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №23 | | Решение треугольников Цель урока: провести промежуточный контроль знаний, умений и навыков учащихся, с целью их корректировки и подготовки к контрольной... |
| Уроки геометрии в 9-м классе по теме " Решение треугольников" Определите вид треугольника, не вычисляя его углов, если известны его стороны (Презентация, слайд 1) | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать: определение треугольника, равнобедренного и равностороннего треугольника, признаки равенства треугольников, свойства прямоугольных... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Сформировать понятие признаков равенства прямоугольных треугольников на основе признаков равенства треугольников | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: ввести определение подобных треугольников; доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников и рассмотреть применение... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: доказать третий признак подобия треугольников, рассмотреть решение задач с применением изученных признаков подобия | | Урока «Решение задач по теме «Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник» Показать, что источник возникновения изучаемой дисциплины – реальный мир, что она возникла из практических потребностей людей |
| Тема: Подобие Содержание: Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников. Теорема отношений площадей подобных... | | Повторение курса 8 класса. Решение задач Цели: вспомнить с учащимися сведения, необходимые при изучении геометрии в 9 классе; повторить некоторые свойства треугольников и... |
