Конспекты лекций по дисциплине “Основы теории управления” Кафедра Техничнской физики Физико-технолгического института Екатеринбург 2012 г. Содержание Раздел №1

Скачать 1.56 Mb.

Название	Конспекты лекций по дисциплине “Основы теории управления” Кафедра Техничнской физики Физико-технолгического института Екатеринбург 2012 г. Содержание Раздел №1
страница	5/17
Дата публикации	21.09.2013
Размер	1.56 Mb.
Тип	Конспект

100-bal.ru > Математика > Конспект

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 17

L,R

Ф_в

U_в

M_д

i(t)

J_д

M_c

M_c

U_д(t)

ротор

Вращение ротора

i_в

Уравнение цепи якоря

(1),

где K_u – постоянная электродвигателя по напряжению.

Уравнение вращения якоря

(2),

где J_д – момент инерции якоря (двигателя);

M_c – момент сопротивления (трение в подшипниках и др. потери);

M_д – движущий момент двигателя;

K_i – постоянная двигателя по току.

Поскольку мы допустили, что момент сопротивления изменяется от скорости линейно, поэтому запишем закон его изменения в виде:

(3),

где K_v – постоянная скоростного трения двигателя.

Учитывая допущение U_в=const, положим для простоты математического выражения Ф_в=1.

Тогда систему уравнений (1)-(2) с учетом (3) можно записать в виде:

продиффиренцируем по времени второе уравнение

Подставим два последних уравнения в первое

в операторной форме

,

где

.

Тогда передаточная характеристика

Пример 2. Найти передаточную функцию гидравлического демпфера, если пренебречь влиянием массы подвижных частей и принять за входную величину силу F, а за выходную – перемещение поршня X.

Составим уравнение равновесия сил: F=F_д , где F_д – демпфирующая сила.

F_д

, где с - коэффициент, зависящий от вязкости жидкости, площади поршня и др. Тогда уравнение равновесия пример вид

или в операторной форме

F

передаточная функция

где

Если учесть массу движующихся частей, то уравнение равновесия можно записать в виде:

где m –масса движущихся частей

Или в операторной форме:

где

Применение преобразования Лапласа

Преобразование Фурье
Интеграл Фурье
Преобразование Лапласа
Свойства преобразования Лапласа
Временные характеристики систем управления

В предыдущем разделе использовался оператор дифференцирования с помощью которого дифференциальное уравнение динамики линейной системы преобразовалось в алгебраическое уравнение того же порядка. Использование этого оператора носило чисто символический характер. Преобразование Лапласа раскрывает математический и физический смысл этого оператора и устанавливает важную связь между передаточной и весовой функциями линейной системы. Однако, прежде чем рассматривать преобразование Лапласа, необходимо рассмотреть преобразование Фурье, которое лежит в основе преобразования Лапласа.

Любой сигнал можно представить в виде временной функции (t) и в виде частотной функции F(). Связь между этими двумя формами представления устанавливает преобразование Фурье. Прямое преобразование Фурье позволяет найти F(), если известна (t). Обратное п.Ф. позволяет восстановить (t) по известному спектру F(). Это отображается следующим образом:

прямое п.Ф.

обратное п.Ф.

F()

(t)

В начале рассмотрим п.Ф. периодической функции.

Любую периодическую функцию (t) можно представить в виде синусо-косинусного ряда:

(1)

, где Т – период функции,  - круговая частота.

Функцию (t) можно представить в виде синусного ряда

где

, A_n – амплитуда n-ой гармоники, _n – фаза n-ой гармоники.

Если использовать преобразование Эйлера:

то выражение (1) можно представить в экспоненциональной форме:

– обратное преобразование Фурье.

– прямое преобразование Фурье.

Для периодического сигнала частотный спектр является линейчатым. Если функция непериодическая, то тогда преобразования нужно будет вычислять при T. Непериодическую функцию можно считать периодической, если T , 0, тогда

, интеграл Фурье.

(2)

Спектр непрерывной функции представляет собой сплошную (непрерывную) функцию. Эти два интеграла существуют, если выполняется условие:

(3)

Широко используемые в теории управления функции ((t)=1(t), (t)=kt и др.) не удовлетворяют этому условию.

Поскольку для этих функций интегралы Фурье не существуют, поэтому преобразование Фурье применять не имеет смысла. Рассмотрим класс функций (t)=Me^-^t, где M>0, >0, для которых условие (3) выполняется. Эти функции называются экспоненциальными, они достаточно хорошо отображают большинство процессов, совершающихся в природе. Экспоненциальная функция с параметром <0 отображает затухающий (устойчивый) процесс, причем степень затухания зависит от величины . Функции, для которых =0 являются незатухающими, а для >0 являются неограниченными функциями на полуоси t>0. Обе эти функции соответствуют условно устойчивым (=0) и неустойчивым (>0) процессам, которые на практике встечаются крайне редко. Кроме того, рассматриваются экспоненциальные функции, которые равны нулю для t<0. Такие функции удобно использовать для изучения переходных режимов (момент t=0 соответствует моменту времени, при котором начинается возмущения, порождающие переходной процесс).

Расмотрим функцию

. В соответствии с выражением (2) найдем её спектр для t0:

Обозначим через p=+j. Тогда

- интеграл Лапласа.

Функцию (t) называют оригиналом, а F(p) – изображением. Показатель p называется комплексной частотой.

Обратное преобразование Лапласа

На практике используют преобразование Карсона-Лапласа:

(4)

Это преобразование позволяет получить в более простой форме изображения некоторых функций. Проведем примеры вычисления преобразования Карсона-Лапласа.

Пример 1.

Пример 2. (t)=e^-^t.

Отметим, что в своей практической работе инженерам нет необходимости вычислять изображения по оригиналу, используя формулу (4). В литературе по теории управления имеются таблицы изображений большинства наиболее употребляемых функций.

Приведем без доказательства некоторые основные свойства преобразования Лапласа.

Пусть тогда
Свойства линейности.

Пусть

Тогда

Свойство задержки (смещения).

Пусть

Тогда

Свойство дифференцирования.

Пусть

Тогда

где

Пример.

Свойство свертки.

Пусть

Тогда

В пользе приведенных свойств нетрудно убедиться, рассмотрев операторный способ преобразования линей
ного дифференциального уравнения

Для упрощения примем

Тогда в силу свойств 1,2, и 4

Используя таблицы пребразований Лапласа можно по изображению X(p) получить оригинал X(t), при упомянутых начальных условиях.

В предыдущем разделе было упомянуто о возможностях весовой функции линейной системы.

где u(t), X(t) – значение входа и выхода линейной системы,

(t) – весовая функция системы.

X(t) – представляет свертку функций u(t) и (t).

Воспользуемся ранее приведенным свойством преобразования Лапласа (свойство свёртки).

Если

, то

Отсюда

(5).

Выражение (5) мы назвали передаточной функцией в операторной форме. Теперь можно дать более глубокое толкование выражения (5):

передаточная функция системы W(p) есть отношение изображения выходной величины этой системы к изображению входной величины при условии, что система в начальный момент времени находилась в покое.

Кроме того, можно сделать ещё один очень важный вывод: передаточная функция W(p) есть преобразование Лапласа импульсной (весовой) переходной функции линейной системы.

Элементарные звенья и структурные схемы систем управления
Элементарные звенья – это некоторые типовые элементы системы управления, математическая модель которых независимо от их физической природы может быть использована для определения статических и динамических характеристик реальных систем управления.

Различают следующие элементарные звенья:

усилительное
интегрирующее
апериодическое
колебательное
дифференцирующее
звено запаздывания
суммирующее
структурные схемы систем управления

Усилительное звено.

K

X

U
Уравнение усилительного звена:

где k=const.

Используя преобразование Лапласа, определим передаточную функцию усилительного звена.

W(p)=k – передаточная функция усилительного звена. Пусть U(t)=1(t), тогда X(t)=k.

U(t)

x(t)

x(t)

U(t)

k

0

t

Пример 1. Пример 2. Электрическая цепь, в которой U(t)= U_вх,

R

i_вх

U_вх



U₂

U₁

k

Усилитель напряжения x(t)=i_вх.
i_вх= U_вх/R, k=1/R, i=kU

U₂=k U₁

Пример 3. Рычаг, плечи которого l₁ и l₂.

U

x

l₁

l₂

Уравнение рычага: U l₁= l₂x. обозначим через

Тогда U=kx.

Интегрирующее звено

x

U

Уравнение интегрирующего звена:

, или

. Используя преобразование Лапласа, при

условии x(0)=0, pX(p)=kU(p),

- передаточная функция интег-го звена.

α

1(t)

U, x

x(t)

U

t

0

tg(α)=k
Если U(t)=1(t), то

.
Пример 1. Цилиндрическая емкость, заполняемая жидкостью.

h_вых

q_вх

- высота уровня.

Объем жидкости, потсупающей в емкость за время Δt,

равен

Одновременно объем цилиндра с высотой h_вых равен

где d –диаметр емкости, тогда

если

то

Апериодическое звено

x

U

Уравнение апериодического звена:

где T и k – постоянные параметры
Используя преобразование Лапласа при X(0)=0, получаем

Тогда передаточная функция звена

Пусть U(t)=1(t), X(0)=0. Тогда

.

Используя преобразование Лапласа для нахождения решения X(t) этого дифференциального уравнения.

Используем табличное обратное преобразование Лапласа.

Тогда

1(t)

t

0

T

U(t) x(t)

x(t)

Построим переходную характеристику x(t)

Значение параметра Т можно получить, проведя касательную к графику x(t) в x(0)=0 до пересечения с прямой

R

i

U_вых

C

U_вх

Пример. Электрическая цепь, состоящая из омического сопротивления R и емкости C (RC - цепочка). Входом является напряжение U_вх, а выходом – напряжение на емкости U_вых.

По закону Кирхгофа

(A).

или

Из последнего выражения

Подставим значение тока i в выражение (A):

Обозначим через T=RC. Тогда

Это дифференциальное уравнение апериодического звена.

Колебательное звено

x(t)

U(t)

Уравнение колебательного звена

где T₀,Т и k – постоянные коэффициенты.

Передаточная функция колебательного звена равна

Найдем переходную функцию колебательного звена при начальных условиях

Характеристическое уравнение

имеет два корня

.

Отметим одну важную особенность. Звено будет колебательным, если

т.е. корни уравнения должны быть комплексными. Если это условие не выполняется, то звено, описываемое дифференциальным уравнением второго порядка ,будет представлять совокупность двух последовательно соединенных апериодических звеньев. Введем обозначения

Тогда корни характеристического уравнения колебательного звена могут быть представлены в виде

,а переходная функция будет равна

Переходная характеристика колебательного звена.

1(t)

t

0

b

U(t) x(t)

U(t)

k

α

R

U_вых

L

i

C

U_вх

Пример.

Электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных индуктивности L, емкости С и омического сопротивления R. Входным воздействием является напряжение U_вх, входным сигналом будем считать напряжение на емкости U_вых.
По закону Кирхгофа

(А)

или

Подставим значение тока i в уравнение (А),

(Б)

Введем обозначения

Тогда уравнение (Б) можно представить в виде

Это уравнение колебательного звена.

Дифференцирующее звено.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 17

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Фгоу впо сибгути. Раздел 1 Основы теории множеств. Раздел 2 Формулы логики. Раздел 3 Булевы функции. Раздел 4 Предикаты и бинарные...		Рабочая программа учебной дисциплины основы теории управления Дисциплина «Основы теории управления» относится к циклу профессиональных дисциплин, базовая часть. Для изучения дисциплины «Основы...
	Протокол 2 Дата 29. 09. 2012 Председатель: Грамотеева Н. А. Опорные... Опорные конспекты лекций по дисциплине «Риторика» для студентов специальности: 260502 Технология продукции общественного питания....		Программа учебной дисциплины основы менеджмента для бакалавров по... «Основы менеджмента» для бакалавров по направлению подготовки «Юриспруденция» 030900 [Текст] / «Государственный университет управления»,...
	Курс лекций Концептуальные основы теории и практики управления человеческими ресурсами (8 час.)		Фгбоу впо «удмуртский государственный университет» физико-энергетический... Изучение основ теории методов, апаратурного оформления, примеров практического использования, областей применения, достоинств, ограничений...
	Кафедра иностранных языков Профессионально-ориентированное обучение... Утверждено на заседании Совета Института иностранных языков (Протокол №11 от 24. 05. 12)		Кафедра иностранных языков Профессионально-ориентированное обучение... Утверждено на заседании Совета Института иностранных языков (Протокол №11 от 24. 05. 12)
	Конспекты лекций по дисциплине: «социология и политология» Раздел I. Социология Информация о технологии обучения и использовании мультимедийных материалов. Перечень и описание предлагаемых курсов: проектирование...		Вопросы к зачету по дисциплине «Ораторское искусство» для студентов заочного отделения Опорные конспекты лекций по дисциплине «Риторика» для студентов специальности: 260502 Технология продукции общественного питания....
	Конспекты по тематике лекционных занятий и ответы по темам лекций По дисциплине «История психологии» для студентов третьего курса, обучающихся по специальности 030301. 65 «Психология» на 2011-2012...		Рабочая учебная программа по дисциплине «Основы экономики» Фгбоу впо «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2012. – 53 с
	Национальный проект – производство гениев Опорные конспекты лекций по дисциплине «Риторика» для студентов специальности: 260502 Технология продукции общественного питания....		Рабочая программа По дисциплине: Теория государства и права Для специальности:...
	Урок в 8 классе по теме «Квадратные уравнения» Опорные конспекты лекций по дисциплине «Риторика» для студентов специальности: 260502 Технология продукции общественного питания....		2. Конспекты лекций 32 Теоретический раздел включает в себя основные проблемы бытия, познания, человека, культуры и общества, рассматриваемые как в рефлексивном,...

Школьные материалы

Конспекты лекций по дисциплине “Основы теории управления” Кафедра Техничнской физики Физико-технолгического института Екатеринбург 2012 г. Содержание Раздел №1

L,R

F

F

U

x

l1

l2

Уравнение рычага: U l1= l2x. обозначим через

Похожие:

l₁

l₂

Уравнение рычага: U l₁= l₂x. обозначим через