Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 2.03 Mb.
|
Краткое содержание дисциплины. Математическая деятельность, ее виды, уровни, компоненты. Деятельностный подход в обучении математике. Математика как учебный предмет, как часть инструментария профессиональной деятельности (как средство), как объект профессиональной исследовательской и/или преподавательской деятельности (как цель). Логический, вычислительный, операциональный, комбинаторный, функционально-графический компоненты математической компетентности, компетентность в области моделирования; особенности их функционирования в составе математической деятельности различного уровня. Деятельностный подход в дидактике и концепция обучения математике как деятельности. Концепция развивающего обучения (Давыдов-Эльконин): ведущая роль формирования теоретического мышления. Математический эксперимент (исследование частных случаев) и выдвижение гипотезы. Верификация и фальсификация математических утверждений. Усвоение математических понятий как освоение операций над соответствующими объектами. Формирование новых математических понятий на основе абстрагирования. Переформулирование задачи на подходящем математическом языке как математическое моделирование. Некоторые общие приемы поиска доказательств. «Перепланирование» раздела математики на основе новых структур (Н.Бурбаки). Приемы формирования элементов профессиональной математической деятельности в обучении математике. Работа с математическими текстами: выделение иерархии понятий (математической структуры), анализ доказательств. Приемы формирования операциональной (алгоритмической) компетентности, проблема выбора уровня алгоритмизации действий. Формирование умений, связанных с контролем и самоконтролем при реализации алгоритмов. Эвристические приемы поиска решения задачи и способы их формирования. От приема – к методу: разработка алгоритмов решения классов задач. Проблема описания алгоритма, проблема обоснования алгоритма. Задания на отработку алгоритмических способов действий и постановка «сверхзадачи» (сравнение и анализ объектов, выдвижение гипотезы). Проверка гипотез как творческое задание, возможности организации коллективной работы. Приемы формирования способностей перевода задачи на иной математический язык: идеи аналитической геометрии, геометрической алгебры и др. Возможности обучения созданию математических текстов и гипертекстов. Изучение математических понятий и теорий через систему задач как модель профессиональной математической деятельности. Обучающая система задач как особый дидактический жанр и его разновидности. Требования к математическому содержанию и структуре обучающей системы задач. Возможности применения обучающих систем задач в аудиторной и внеурочной деятельности на различных ступенях и уровнях математического образования. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы. Разработчик: Фолиадова Е.В., кандидат физико-математических наук, доцент. М2.В.ОД.5 ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ Целями освоения дисциплины «Теория многообразий и общая теория меры» являются:
Место дисциплины в структуре ООП и особенности содержания дисциплины определяются ее взаимодействием с иными дисциплинами профессионального цикла, прежде всего его профильной (вариативной) части. Основное внимание уделяется взаимосвязям различных математических дисциплин, изучающих кривые, поверхности, их многомерные и бесконечномерные обобщения. При этом изучение предлагается проводить на базе методов классического математического анализа, дифференциальной геометрии, функционального анализа и в некоторой степени общей топологии, алгебраической топологии, математической физики, что соответствует профилю аспирантуры при кафедре высшей математики. Содержательные линии дисциплины «Теория многообразий и общая теория меры» продолжают некоторые линии курсов «Методология и методы научного исследования» (1 семестр), «Теория линейных операторов» (1 семестр), «Нелинейный анализ и вариационные методы» (2 семестр). В рамках данного курса, обязательного для всех магистрантов, предполагается систематизация знаний, полученных магистрантами при изучении программ бакалавриата, и прочное усвоение базовых общих идей теории вещественных многообразий и теории интегрирования. Изучение соответствующих разделов может быть продолжено на более глубоком уровне в рамках дисциплин по выбору «Комплексные и гиперкомплексные многообразия», «Фрактальные пространства и дробно-дифференциальные операторы», «Дополнительные главы математической физики» (4 семестр) и научно-исследовательской работы магистранта в 3 и 4 семестрах, а также дисциплин учебного плана аспирантуры по специальности 01.01.01. – Вещественный, комплексный и функциональный анализ. Требования к усвоению дисциплины. В результате освоения дисциплины «Теория многообразий и общая теория меры» обучающийся должен обладать следующими компетенциями: общекультурными компетенциями (ОК): ОК-1; ОК-2; ОК-3; ОК-6. профессиональными компетенциями (ОПК, ПК): ОПК-1; ПК-4; ПК-6; ПК-14; специальными компетенциями (СК): СК-1; СК-2; СК-3; СК-4; СК-5; СК-6; СК-7; СК-9; СК-10. В результате освоения дисциплины «Теория многообразий и общая теория меры» обучающийся должен: знать
уметь
владеть
Краткое содержание дисциплины. Элементарная теория многообразий размерности 1 и 2. Кривые на плоскости, в трехмерном пространстве: параметризовванная кривая (путь), эквивалентные пути, простые пути, гладкие пути, регулярные пути, (жорданова) кривая как класс эквивалентности; множества на плоскости, заданные уравнениями, простая точка множества, неособая точка множества, простая линия; длина кривой, натуральный параметр, кривизна кривой; нормаль плоской кривой, сопровождающий базис Френе плоской кривой, главная нормаль пространственной кривой, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, нормальная плоскость, спрямляющая плоскость, сопровождающий базис Френе, кручение пространственной кривой. Поверхности в трехмерном пространстве: параметризованная поверхность, (гладкие регулярные простые) параметризации, эквивалентные параметризации, координаты на поверхности, диффеоморфизмы и замена координат, элементарные поверхности как классы эквивалентности; касательная плоскость элементарной поверхности, касательные векторы; гладкие отображения элементарных поверхностей и их дифференциалы, диффеоморфизмы элементарных поверхностей, дифференциал диффеоморфизма как изоморфизм касательных пространств; первая квадратичная форма поверхности и метрический тензор, длина кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности; площадь поверхности и первая квадратичная форма; вектор нормали к элементарной поверхности и сопровождающий базис поверхности; вторая квадратичная форма поверхности, главные кривизны, полная и средняя кривизна; коэффициенты связности (символы Кристоффеля); графики в трехмерном пространстве, неявное задание поверхности. Топологические многообразия и гладкие структуры. Карты и атласы. Размерность и коразмерность. Касательные пространства. Гладкие отображения многообразий. Карты в произвольном множестве, носитель карты, локальные координаты; согласованные карты, функции перехода; атлас на множестве, максимальные атласы, гладкие структуры (гладкости), гладкие многообразия (класса r), топологические многообразия, аналитические многообразия. Теорема о неявной функции, теорема о системе неявных функций и гладкие многообразия. Размерность и коразмерность многообразия. Группы прямоугольных матриц, ортогональных матриц, унитарных матриц как гладкие многообразия; многообразия Штифеля и Грассмана. Понятие о матричных группах Ли и их алгебрах Ли как гладких многообразиях. Векторные и тензорные поля на многообразии. Траектории векторного поля. Дифференциальные уравнения на многообразии. Касательный вектор многообразия (аксиоматическое определение). Касательное пространство в заданной точке. Гладкие отображения многообразий и их дифференциалы. Кокасательное пространство, градиент, производная по вектору. Локальные диффеоморфизмы и их дифференциалы. Теорема о замене локальных координат. Локально плоские в заданной точке отображения (отображения локально постоянного ранга). Погружения (иммерсии) и наложения (субмерсии) многообразий. Регулярные значения отображений, теорема о полном прообразе регулярного значения. Теорема вложения Уитни (без доказательства). Критические точки отображений, теорема Сарда (без доказательства). Дифференциальные формы на многообразиях. Касательное расслоение. Связность. Параллельный перенос вектора вдоль пути. Касательное расслоение гладкого многообразия. Понятие аффинной связности. Коэффициенты аффинной связности и примеры вычисления символов Кристоффеля. Перенос векторных и тензорных полей с помощью диффеоморфизмов с одного многообразия на другое. Дифференцирования. Производная Ли тензорного поля по векторному полю. Линейные дифференциальные формы (ковекторные поля) на многообразии. Дифференциальные формы степени p .на многообразии (кососимметрические тензорные поля). Внешнее произведение дифференциальных форм. Внешнее дифференцирование (антидифференцирование) дифференциальных форм. Перенос дифференциальной формы посредством гладкого отображения многообразий. Производная Ли дифференциальной формы. Точные и замкнутые дифференциальные формы, комплекс де Рама, коциклы и кограницы. Лемма Пуанкаре о точности замкнутых форм на открытом кубе. Интегрирование по многообразию. Формула Стокса. Множества (жордановой) меры нуль в пространстве Rn. Интеграл (Римана) по кубируемой области пространства Rn. Нуль-множества и кубируемые множества на многообразии. Понятие плотности на многообразии. Интегралы (первого рода) от плотности по паракомпактному многообразию. Ориентирующие атласы и ориентируемые многообразия; ориентация многообразия и индуцированная ориентация касательного пространства. Дифференциальные формы максимальной степени и плотности. Интеграл от дифференциальной формы максимальной степени (определение с помощью переноса формы). Случаи криволинейных и поверхностных интегралов второго рода в R3. *Степень отображения. Теорема о гомотопической инвариантности степени. Ретракты. Теорема о барабане. Теорема Брауэра о неподвижной точке. Теорема о причесывании ежа. Области с регулярной границей. Ориентация края ориентированного многообразия. Интеграл от дифференциальной формы по границе многообразия. Формула Стокса (для дифференциальных форм произвольной степени). Формулы Стокса в R3, Остроградского-Гаусса, Грина, Ньютона-Лейбница как частные случаи общей формулы Стокса. Основы абстрактной теории меры и интеграла. Кольцо множеств, конечно-аддитивные и счетно-аддитивные функции множеств. Кольцо многоугольников, кольцо многогранников, симплексы и конечно-аддитивные инвариантные меры. *Равнообъемность и равносоставленность. *Объемы многогранников и третья проблема Гильберта. *Инвариант Дэна как мера, различающая равновеликие многогранники. Решетки, булевы алгебры, представления булевых алгебр в виде алгебр подмножеств. Конечно-аддитивные меры на алгебре подмножеств и порожденные ими внешние меры. Множества меры нуль, измеримые множества. *Расстояние между множествами, определяемое мерой; пространство измеримых множеств как пополнение факторалгебры множеств, рассматриваемых с точностью до множества меры нуль, по введенной метрике. Счетно-аддитивные меры, продолжение меры. Мера Лебега как продолжение меры с алгебры борелевских множеств. Функции, измеримые относительно заданной пары мер. Свойства измеримых функций. Интеграл Лебега как (однозначно определенный) функционал на классе измеримых функций. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. Пространства суммируемых по Лебегу функций. Меры и заряды. Теорема Радона-Никодима о представлении заряда. Мера Стилтьеса и интеграл Лебега-Стилтьеса. Прямые произведения мер и теорема Фубини. Величины и их меры в школьном курсе математики, в курсе высшей математики. Величины и их меры в математике: исторический обзор. Изучение понятия площади в школьном курсе математики. Изучение понятия объема в школьном курсе математики. Площадь криволинейной трапеции как задача, приводящая к понятию определенного интеграла (школьный курс математики, курс высшей математики). Различные подходы к введению понятия интеграла Римана; связь между задачами дифференцирования и интегрирования в теории Римана. Определение квадрируемых фигур, кубируемых тел, спрямляемых кривых, квадрируемых поверхностей в курсе математического анализа. Множества, не измеримые по Жордану, понятие о дробной размерности. Применение интегрального исчисления к вычислению площадей и объемов в школьном курсе математики, в курсе высшей математики. Физические приложения определенного интеграла (школьный курс математики, курс высшей математики). Различные подходы к введению понятия меры Лебега и интеграла Лебега; связь между задачами дифференцирования и интегрирования в теории Лебега. Дискретные меры, использование аналогии между интегрированием и суммированием. Меры Стилтьеса и интеграл Стилтьеса, возможности их изучения в курсе высшей математики. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы. Разработчик: Фолиадова Е.В., кандидат физико-математических наук, доцент. М2.В.ОД.6 ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Целями освоения дисциплины «Прикладной функциональный анализ» являются: • систематизация и углубление представлений магистрантов о специфике математического знания, месте и роли математики в познании мира, о единстве математики в ее многообразии; • продолжение формирования представлений о процессе математического исследования, его важнейших чертах, особенностях постановки проблемы и представления результатов; • формирование понятийного аппарата в области функционального анализа и его приложений, необходимого при проведении самостоятельных исследований; • формирование умения работать с математическими объектами высокого уровня абстракции, развитие соответствующего типа мышления. Место дисциплины в структуре ООП и особенности содержания дисциплины определяются ее взаимодействием с иными дисциплинами профессионального цикла, прежде всего его профильной (вариативной) части. Перечень вопросов, относящихся к прикладному функциональному анализу, не является жестко определенным; критериями для включения тех или иных разделов в настоящую программу служили их существенное значение для современной математики в целом и связь с ранее изученными курсами. Содержательные линии дисциплины «Прикладной функциональный анализ» продолжают некоторые линии курсов «Методология и методы научного исследования» (1 семестр), «Теория линейных операторов» (1 семестр), «Нелинейный анализ и вариационные методы» (2 семестр), «Теория многообразий и общая теория меры» (3 семестр). Изучение соответствующих разделов может быть продолжено на более глубоком уровне в рамках дисциплин по выбору «Оптимальное управление динамическими системами», «Дополнительные главы математической физики», «Элементы математической экономики», «Элементы математической биологии», «Численные методы решения операторных уравнений» (4 семестр) и научно-исследовательской практики (4 семестр), а также в дисциплинах учебного плана аспирантуры по специальности 01.01.01. – Вещественный, комплексный и функциональный анализ. Требования к усвоению дисциплины. В результате освоения дисциплины «Прикладной функциональный анализ» обучающийся должен обладать следующими компетенциями: 1) общекультурными компетенциями (ОК): ОК-1; ОК-2; ОК-3; ОК-4; ОК-5. 2) профессиональными компетенциями (ОПК, ПК): ОПК-1; ОПК-2; в области научно-исследовательской деятельности: ПК-5; ПК-6; ПК-7; 3) специальными компетенциями (СК): СК-1; СК-2; СК-3; СК-4; СК-5; СК-6; СК-7; СК-8; СК-9; СК-11. В результате освоения дисциплины «Прикладной функциональный анализ» обучающийся должен: знать • формулировку спектральной теоремы для различных классов операторов в гильбертовом пространстве (ограниченных самосопряженных, унитарных, неограниченных самосопряженных, симметрических); • типичные приложения спектральной теории операторов (в гильбертовом, банаховом пространстве или пространстве с индефинитной метрикой) в теории дифференциальных, интегральных и др. уравнений; • основные понятия теории обобщенных функций как функционалов на пространствах основных функций; • простейшие результаты теории динамических систем; • базовые понятия и определения теории случайных процессов; уметь • анализировать утверждения, касающиеся спектральных свойств операторов; исследовать спектральные характеристики конкретных операторов • применять алгоритмы действий над обобщенными функциями; • ; • адаптировать известные подходы к построению теории обобщенных функций, теории случайных процессов, выпуклому анализу к образовательному процессу; владеть • основами языка и символики теории распределений, теории случайных функций, навыками постановки задачи для исследования и формулирования результатов исследования; • навыками чтения математического текста, способами осмысления и критического анализа научной информации; • навыками совершенствования и развития своего научного потенциала, самообразования в области математики и ее преподавания. Краткое содержание дисциплины. 1. Спектральная теория операторов и ее приложения. Разложение единицы, обобщенное разложение единицы. Спектральная функция самосопряженного, унитарного, симметрического, изометрического оператора. Спектральная теорема и примеры спектральных разложений. Проблема моментов. .Основы эргодической теории (потоки и инвариантные меры на многообразии, уравнение Лиувилля, теоремы Пуанкаре о возвращении, теорема Бохнера-Хинчина, эргодическая теорема). 2. Теория обобщенных функций и ее приложения в теории дифференциальных уравнений. Пространства основных функций. Пространства обобщенных функций как сопряженные пространства. Носитель обобщенной функции. регулярные и сингулярные обобщенные функции. Примеры. Действия над обобщенными функциями, свертка, преобразование Фурье обобщенных функций. Решение дифференциальных уравнений в смысле теории распределений; фундаментальное решение и функция Грина; сильное и слабое решение; применение преобразования Фурье. 3. Элементы выпуклого анализа и выпуклой оптимизации. Выпуклые множества в банаховом, в гильбертовом пространстве и их свойства. Выпуклые функционалы в банаховом пространстве и их свойства. Выпуклые процессы и замкнутые выпуклые процессы. Опорные функции и барьерные конусы выпуклых множеств в банаховых пространствах. Касательные и нормальные конусы к выпуклым множествам. Эпипроизводные и субдифференциалы выпуклых функционалов, элементы субдифференциального исчисления. Сопряженные функции. Выпуклые задачи минимизации, существование решения, множители Лагранжа и лагранжиан, теория двойственности, абстрактное уравнение Эйлера-Лагранжа, конечномерный случай (теорема Куна-Таккера), лагранжианы и гамильтонианаы. 4. Основы теории случайных процессов. Понятие случайного элемента со значениями в измеримом пространстве, распределение случайного элемента, случайный процесс, траектория случайного процесса, семейство конечномерных распределений. Гауссовские случайные процессы. Процессы с независимыми приращениями, Винеровский случайный процесс. Пуассоновский процесс. Стационарные случайные процессы. Поток сигма-алгебр. Марковские случайные процессы. Цепи Маркова как частный случай марковских процессов, переходная матрица.. Семейства линейных операторов, связанных с переходной функцией. Понятие о случайной мере, стохастическом интеграле по ортогональной случайной мере, спектральное разложение стационарного (в широком смысле) процесса. Теорема Бохнера-Хинчина. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы. Разработчик: Фолиадова Е.В., кандидат физико-математических наук, доцент. М2.В.ОД.7 ПРОБЛЕМЫ ПРОФИЛИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Целью курса является формирование у будущих учителей математики системы знаний, умений и навыков в области реализации профильного подхода к обучению математике, составляющие основу компетентности педагогического работника в условиях вариативного образования. Место дисциплины в структуре ООП Курс «Проблемы профилизации обучения математике» предлагается студентам магистратуры в 4 семестре и является дополнительным курсом к дисциплине бакалавриата «Профилизация обучения в современной школе». На данный курс выделяется 2 зачётные единицы. Форма отчетности – зачет. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате освоения дисциплины студенты должны обладать следующими: 1) общекультурными компетенциями (ОК): ОК-2; 2) профессиональными компетенциями (ОПК, ПК): ОПК-2; ПК-1; ПК-2; ПК-3; ПК-8; ПК-10; ПК-18. 3) специальными компетенциями (СК): СК-10; СК-12. Студенты должны знать:
Студенты должны уметь:
Студенты должны владеть навыком:
Краткое содержание дисциплины. Общие вопросы профилизации обучения в средней школе в условиях модернизации образования. Концепция профильного обучения в современной школе. Цели и проблемы профильного обучения. Общественный запрос на профилизацию школы. История профилизации обучения. Общемировые тенденции. Отечественный опыт профильного обучения. Структура профильного обучения в средней школе. Направления профилизации и структуры профилей обучения. Формы организации профильного обучения. Этапы введения профильного обучения. Предпрофильная подготовка школьников. Особенности реализации профильного обучения математике. Учебно- методические комплекты разных уровней и направлений обучения математике. Организация профильного обучения в средней школе. Методика обучения математике на профильном уровне. Особенности содержания курса математики для различных профилей обучения: гуманитарного, математического, естественно-научного и др. Формирование учебной деятельности школьников при изучении математики в классах различных уровней обучения. Сравнение методик изучения отдельных тем курса математики в классах различной профильной направленности. Углубленное изучение физико-математических дисциплин. Особенности содержания и методики. Организация обучения математике в форме элективных курсов. Примеры элективных курсов по математике для различных профилей обучения: гуманитарного, математического, естественно-научного и др.. Проектирование элективных курсов по конкретным учебным темам. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы. Разработчик: Сидорова Н.В., кандидат педагогических наук, доцент. М2.В.ДВ.1.1 КОМПЬЮТЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СРЕДЫ Целями освоения дисциплины «Компьютерные математические среды» являются:
Место дисциплины в структуре ООП и особенности ее содержания определяются ее взаимодействием с иными дисциплинами профессионального цикла, прежде всего его профильной (вариативной) части. Изучение дисциплины опирается на имеющиеся у магистрантов знания из курсов линейной алгебры, математического анализа, теории дифференциальных уравнений, программирования. Сведения из данного курса могут быть использованы при написании магистерских диссертаций по математике. Требования к усвоению дисциплины. В результате освоения дисциплины «Компьютерные математические среды» обучающийся должен обладать следующими компетенциями:
в области педагогической деятельности: ПК-1; ПК-3; ПК-4; в области научно-исследовательской деятельности: ПК-7; в области методической деятельности: ПК-8; в области культурно-просветительской деятельности: ПК-19;
В результате освоения дисциплины «Компьютерные математические среды» обучающийся должен: знать основные компьютерные математические среды; уметь решать типовые задачи из основных разделов высшей математики с использованием компьютерных математических сред; владеть навыками визуализации полученных решений; иметь представление о возможностях, роли и значении компьютерных математических сред в математическом исследовании. Краткое содержание дисциплины. Обзор, классификация и основные возможности компьютерных математических сред. История возникновения и развития компьютерных математических сред. Основные возможности и классификация систем компьютерной математики. Популярные платные и бесплатные математические среды. Общие принципы работы. Интернет-ресурсы, посвященные компьютерным математическим средам. Основы работы в компьютерных математических средах. Установка и знакомство с интерфейсом систем компьютерной математики Maxima и Scilab. Обзор основных команд и функций. Работа в режиме калькулятора. Использование справочной системы. Графические возможности компьютерных математических сред. Построение двумерных и трехмерных графиков в системах Maxima и Scilab. Решение задач линейной алгебры. Основные операции над матрицами, вычисление определителей и обратных матриц, нахождение собственных векторов и собственных значений. Решение систем линейных уравнений. Решение задач анализа. Поиск экстремумов функций, вычисление пределов. Аналитическое и численное дифференцирование и интегрирование. Решение дифференциальных уравнений. Функции аналитического решения ОДУ первого и второго порядков системы Maxima. Решение линейных неоднородных ОДУ высших порядков в системе Maxima. Основные солверы для решения ОДУ в системе Scilab. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы. Разработчики: Цыганов А.В., кандидат физико-математических наук, доцент. М2.В.ДВ.1.2 ИСТОРИКО-ГЕНЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Цели и задачи освоения дисциплины:
Место дисциплины в структуре ООП. Курс «Историко-генетический метод» является дисциплиной по выбору профессионального цикла направления 050100.68, способствует формированию историко-математической компоненты подготовки выпускников к профессиональной деятельности в образовательных учреждениях. Требования к усвоению дисциплины: В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать следующими:
В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать:
Уметь:
Владеть:
Краткое содержание дисциплины. |
