Программа итоговой государственной аттестации выпускников для специальности 050201. 65 «Математика»

1.5. Содержание экзамена по дисциплине «Математический анализ» Вопрос 1. Множество действительных чисел. Ограниченные числовые множества, верхняя и нижняя грани. Метрика множества действительных чисел, открытые и замкнутые множества. Мощность множества. Множество рациональных чисел, его счетность, плотность во множестве действительных чисел. Несчетность отрезка [0;1], множества мощности континуум. Структура ответа. Множество действительных чисел как полное упорядоченное поле (аксиоматическое определение множества действительных чисел). Аксиома существования верхней грани ограниченного сверху множества и теорема о разделяющем числе. Модуль действительного числа, свойства модуля (модуль как частный случай нормы на векторном пространстве). Расстояние между действительными числами. Множество действительных чисел как полное метрическое пространство. Множества натуральных, целых, рациональных чисел и их свойства. Понятие мощности множества. Счетные множества. Счетность множества целых чисел, множества рациональных чисел. Несчетность отрезка [0;1], множества мощности континуум. Множество действительных чисел как множество мощности континуум. Промежутки (интервалы, отрезки, лучи) множества действительных чисел как связные множества. Характеристика открытых и замкнутых множеств в пространстве действительных чисел. Вопрос 2. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теоремы о пределах. Необходимое условие сходимости последовательности; достаточное условие сходимости последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса, критерий Коши сходимости последовательности. Структура ответа. Последовательность как функция натурального аргумента. Понятие предела последовательности. Понятие бесконечно малой числовой последовательности, сведение понятия предела числовой последовательности к случаю бесконечно малой последовательности. Понятие бесконечно большой последовательности, связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями. Леммы о сумме бесконечно малых последовательностей, о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного. Примеры неопределенностей. Неравенства и предельный переход. Теорема о сжатой последовательности. Необходимое условие сходимости последовательности. Достаточное условие сходимости числовой последовательности. Предельные точки множества и частичные пределы последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши (Больцано-Коши) сходимости числовой последовательности. Вопрос 3. Числовые функции. Предел и непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Структура ответа. Общее понятие функции. Композиция функций. Обратимые функции. Числовые функции, монотонные числовые функции, ограниченные числовые функции. Определение предела функции в точке в терминах окрестностей и в терминах последовательностей. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного функций, примеры неопределенностей, первый и второй замечательные пределы. Понятие функции, непрерывной в точке: различные эквивалентные формы определения. Непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций, композиции непрерывных функций. Понятие функции, непрерывной на промежутке. Теорема Вейерштрасса о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих нижней и верхней граней. Теорема Коши о промежуточном значении непрерывной функции. Теорема о непрерывности обратной функции. Непрерывность элементарных функций на области определения. Понятие функции, равномерно непрерывной на промежутке. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке. Вопрос 4. Метрические пространства. Непрерывные отображения метрических пространств. Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений. Структура ответа. Понятия метрики, метрического пространства. Примеры метрических пространств. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Функции (операторы) в метрических пространствах. Понятие непрерывного в точке оператора. Характеристика непрерывных операторов в терминах пределов последовательностей. Характеристика непрерывных операторов в терминах прообразов открытых/замкнутых множеств. Понятие фундаментальной последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Полнота и замкнутость. Понятие сжимающего отображения (сжимающего оператора). Непрерывность сжимающего оператора. Принцип сжимающих отображений (теорема Банаха). Вопрос 5. Степенная функция с произвольным показателем в действительной и комплексной области. Свойства степенной функции. Структура ответа. Степенная функция действительного аргумента с натуральным показателем и ее свойства (область определения; множество значений; монотонность; обратимость/необратимость; непрерывность; дифференцируемость; характер выпуклости; функциональное уравнение). Функции комплексного аргумента : непрерывность, дифференцируемость, неоднолистность, отображение областей. Степенная функция действительного аргумента с целым отрицательным показателем и ее свойства (точка разрыва, предел на бесконечности, график). Функция комплексного аргумента : особые точки, отображения областей. Функция в действительной области, функция в комплексной области. Риманова поверхность радикала. Степенная функция с рациональным показателем в действительной и в комплексной области. Определение степени с иррациональным показателем «по непрерывности». Свойства степенной функции положительного аргумента с иррациональным показателем. Определение степени с комплексным показателем. Свойства степенной функции комплексного аргумента с комплексным показателем. Вопрос 6. Показательная функция действительной переменной и ее свойства. Разложение экспоненты в степенной ряд. Показательная функция в комплексной области, формулы Эйлера. Структура ответа. Функция и ее свойства (область определения; множество значений; монотонность; обратимость; непрерывность; дифференцируемость; характер выпуклости; функциональное уравнение). Сравнение скорости роста показательной и степенной функции. Функция как решение простейшего дифференциального уравнения. Четная и нечетная компоненты функции . Разложение экспоненты в степенной ряд и продолжение экспоненты в комплексную плоскость. Формулы Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Периодичность экспоненты в комплексной плоскости. Неоднолистность экспоненты в комплексной области. Отображения областей. Вопрос 7. Логарифмическая функция в действительной и комплексной области. Структура ответа. Логарифмическая функция действительной переменной как функция, обратная к показательной. Свойства логарифмической функции (область определения; множество значений; монотонность; обратимость; непрерывность; дифференцируемость; характер выпуклости; основное функциональное уравнение и его следствия). Сравнение скорости роста логарифмической и степенной функции. Натуральный логарифм. Применение свойств логарифмической функции: логарифмическое дифференцирование, раскрытие показательно-степенных неопределенностей. Логарифмическая функция комплексной переменной как многозначная функция, обратная к экспоненте. Ветви логарифмической функции, главное значение логарифма. Риманова поверхность логарифмической функции. Разложение функции в степенной ряд. Интегральное определение натурального логарифма. Вопрос 8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции в действительной и комплексной области. Структура ответа. Синус и косинус действительной переменной как декартовы координаты точки единичной окружности. Ограниченность синуса и косинуса. Тангенс и котангенс действительной переменной. Периодичность тригонометрических функций. Теоремы сложения для синуса и косинуса, тангенса и котангенса. Следствия теорем сложения. Непрерывность синуса и косинуса. Первый замечательный предел. Дифференцируемость основных тригонометрических функций. Синус и косинус как решения дифференциального уравнения гармонических колебаний. Разложения синуса и косинуса в степенные ряды. Продолжение синуса и косинуса в комплексную плоскость. Связь синуса и косинуса в комплексной плоскости с экспонентой (формулы Эйлера). Неограниченность синуса и косинуса в комплексной плоскости. Необратимость тригонометрических функций действительной переменной. Обратимые сужения основных тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции действительной переменной, их свойства и графики. Производные обратных тригонометрических функций действительной переменной. Интегральное определение арксинуса и арккосинуса. Обратные тригонометрические функции как многозначные функции комплексного аргумента и их выражение через логарифмическую функцию. Вопрос 9. Дифференцируемые функции одной и нескольких действительных переменных. Производная и дифференциал, частные производные и полный дифференциал, их геометрический смысл. Правила дифференцирования. Структура ответа. Понятие дифференцируемой функции одной или нескольких действительных переменных как функции, допускающей локальное приближение линейной функцией. Непрерывность и дифференцируемость. Производная и дифференциал функции одной переменной, эквивалентная форма определения дифференцируемой функции одной переменной как функции, имеющей производную. Геометрический смысл производной и дифференциала функции одной действительной переменной; уравнения касательной и нормали к графику функции. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных; существование частных производных в точке как необходимое условие дифференцируемости функции в этой точке; непрерывность частных производных в точке как достаточное условие дифференцируемости функции в этой точке. Геометрический смысл производной и дифференциала функции двух переменных; уравнения касательной плоскости и нормали к графику функции. Градиент и производные по направлениям, их геометрический смысл. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций одной переменной. Правило дифференцирования сложной функции. Правило дифференцирования обратной функции. Производные основных элементарных функций. Операторы в многомерных пространствах: дифференцируемость, матрица Якоби, якобиан. Матрица Якоби композиции операторов. Условия существования и матрица Якоби обратного оператора. Понятие диффеоморфизма, геометрический смысл модуля и знака якобиана. Вопрос 10. Основные теоремы дифференциального исчисления. Условия постоянства, монотонности и выпуклости числовой функции на промежутке. Экстремумы и точки перегиба функции одной переменной. Экстремумы функций нескольких переменных. Структура ответа. Понятие точки экстремума для функции одной и нескольких действительных переменных. Теорема Ферма для функции одной и нескольких переменных. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши для функции одной переменной. Формула конечных приращений. Формула Тейлора для функции одной переменной, для функций нескольких переменных. Понятие функции, возрастающей (убывающей) на промежутке. Понятие функции, выпуклой вниз (вверх) на промежутке. Критерии постоянства, монотонности и выпуклости функции на промежутке. Достаточные условия строгой монотонности и строгой выпуклости. Достаточные условия экстремума функции одной переменной в терминах первой производной, в терминах второй производной. Понятие точки перегиба, необходимое условие перегиба, достаточные условия перегиба в терминах второй производной, в терминах третьей производной. Исследование функции на экстремумы и перегибы с помощью старших производных. Исследование функции, непрерывной на отрезке, на наибольшее и наименьшее значения. Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных в терминах второго дифференциала, в терминах матрицы вторых производных. Исследование функции, непрерывной в замкнутой ограниченной области, на наибольшее и наименьшее значения. Вопрос 11. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование по частям и заменой переменной. Интегрирование рациональных функций, некоторых классов иррациональных алгебраических и трансцендентных функций. Структура ответа. Понятие первообразной функции на промежутке. Общий вид первообразных данной функции. Понятие неопределенного интеграла. Примеры (таблица интегралов). Линейность неопределенного интеграла. Правило интегрирования по частям. Правило замены переменных в неопределенном интеграле. Простейшие дроби первого, второго, третьего и четвертого рода и их интегрирование. Разложение правильной алгебраической дроби на простейшие дроби. Алгоритм интегрирования рациональной функции. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций. Интегрирование функций, рационально зависящих от синуса и косинуса одного аргумента, от экспоненты. Задача восстановления функции двух переменных по ее полному дифференциалу. Вопрос 12. Интеграл Римана по отрезку как предел интегральных сумм. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл Лебега. Свойства интегралов Римана и Лебега. Структура ответа. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о массе неоднородной прямолинейной проволоки, задача о работе переменной силы при перемещении по прямой). Разбиение отрезка на частичные отрезки, разбиение с отмеченными точками, интегральная сумма (Римана), отвечающая размеченному разбиению, интеграл Римана как предел интегральных сумм. Ограниченность как необходимое условие интегрируемости функции. Верхние и нижние суммы Дарбу, интеграл Римана как разделяющее число верхних и нижних сумм Дарбу. Непрерывность как достаточное условие интегрируемости функции по Риману. Интегрируемость кусочно-непрерывной функции по Риману. Интегрируемость монотонной функции по Риману. Свойства интеграла Римана (линейность; аддитивность относительно промежутка интегрирования; монотонность; свойства, связанные с оценкой интеграла Римана; теорема о среднем для интеграла Римана). Интеграл по ориентированному отрезку и его свойства. Интеграл с переменным верхним пределом как первообразная подынтегральной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Понятие меры Лебега линейных множеств как обобщение понятия длины отрезка. Интегральные суммы Лебега. Интеграл Лебега как предел интегральных сумм. Свойства интеграла Лебега, сравнение интегралов Римана и Лебега. Вопрос 13. Двойные и тройные интегралы, их свойства. Замена переменных в кратных интегралах. Структура ответа. Задачи, приводящие к понятиям двойного и тройного интеграла (задача о вычислении объема криволинейного цилиндра, задача о массе неоднородной плоской пластинки, массы неоднородного тела). Разбиение области на частичные области, разбиение с отмеченными точками, интегральная сумма, отвечающая размеченному разбиению, двойной и тройной интегралы как пределы интегральных сумм. Ограниченность как необходимое условие интегрируемости функции. Непрерывность как достаточное условие интегрируемости функции. Свойства кратных интегралов (линейность; аддитивность относительно области интегрирования; монотонность; свойства, связанные с оценкой кратного интеграла; теорема о среднем для двойных и тройных интегралов). Сведение двойных и тройных интегралов к повторным в случае прямоугольной области интегрирования (бруса), в случае области, элементарной относительно одной и координатных осей (координатных плоскостей). Правило замены переменных в кратных интегралах. Случаи перехода к полярным координатам в двойном интеграле, к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле. Двойной интеграл по ориентированной области.

Похожие:

	Программа итогового государственного экзамена по специальности «Реклама»... Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования...		Программа итогового государственного экзамена по теории и практике... Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования...
	Программа итоговой государственной аттестации выпускников гбоу спо... Программа итоговой государственной аттестации выпускников по профессии «Слесарь по ремонту автомобилей» разработана на основании...		Мифы корпоративной культуры Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования...
	Тема: Берлин столица Германии Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования...		Программа итоговой государственной аттестации выпускников по специальности... России 10. 03. 2000 г. (регистрационный №134 мед/СП) и типовых ситуационных задач для итоговой государственной аттестации выпускников...
	Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования...		Программа итоговой государственной аттестации по специальности 030501 «юриспруденция» Общая характеристика итоговой государственной аттестации выпускников и видыаттестационных испытаний 3
	Аннотация дисциплины «Социологические проблемы изучения общественного мнения» Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования...		Технологическая карта дисциплины Кафедра теории и методики сервисной... Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования...
	Программа итоговой государственной аттестации выпускников Специальность... Программа итоговой государственной аттестации выпускников по специальности 050103 «География» (квалификация – учитель географии)...		Программа итоговой государственной аттестации по Прикладной математике... Программа предназначена для выпускников факультета физико-математического образования, информатики и программирования по специальности...
	Программа итоговой государственной аттестации выпускников по специальности... Вопросы для государственной аттестации по психологии и педагогике с методикой обучения иностранному языку		Приказ №01- 624 «Об организации и проведении государственной (итоговой)... «Об организации и проведении государственной (итоговой) аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений Челябинской...
	Программа государственной итоговой аттестации выпускников по специальности Педагогические тестовые материалы являются стандартизированными измерителями, используемыми для организации и оценки внутривузовского...		Программа итоговой государственной аттестации по направлению: 070100.... Положением «Об итоговой государственной аттестации выпускников пгпу», Положением «О выпускной квалификационной работе пгпу», учебным...