Программа итоговой государственной аттестации выпускников для специальности 050201. 65 «Математика»
Скачать 0.57 Mb.
|
Вопрос 14. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства, их сведение к интегралу Римана. Формула Грина. Структура ответа. Задачи, приводящие к понятиям криволинейного интеграла первого и второго рода (задача о массе неоднородной криволинейной проволоки, задача о работе переменной силы при перемещении по кривой). Разбиение кривой на участки, разбиение с отмеченными точками, интегральные суммы первого и второго рода, отвечающие размеченному разбиению. Криволинейные интегралы первого рода (по длине кривой) и второго рода (по координатам) как пределы интегральных сумм. Свойства криволинейных интегралов первого и второго рода (линейность; аддитивность относительно области интегрирования; монотонность криволинейных интегралов первого рода; свойства, связанные с оценкой интеграла). Сведение криволинейных интегралов первого и второго рода к интегралу Римана. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Связь между криволинейным интегралом второго рода по границе плоской области и двойным интегралом по этой области (формула Грина). Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от выбора плоской кривой, соединяющей данные точки. Вопрос 15. Спрямляемые кривые, квадрируемые фигуры, кубируемые тела. Применение интегрального исчисления к вычислению меры множества, статических моментов, моментов инерции, координат центра масс. Структура ответа. Понятия квадрируемой фигуры и кубируемого тела. Вычисление площади криволинейной трапеции, кругового сектора, криволинейного сектора. Вычисление объема тела, элементарного относительно координатной оси; вычисление объема тела вращения. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла. вычисление объема тела с помощью тройного интеграла, объема криволинейного цилиндра с помощью двойного интеграла. Понятие спрямляемой кривой. Вычисление длины кривой с помощью интеграла Римана, с помощью криволинейного интеграла первого рода. Случай кривой, заданной явно в декартовых или полярных координатах. Понятие квадрируемой поверхности. Вычисление площади поверхности. Вычисление массы, статических моментов, моментов инерции, координат центра масс кривых, фигур, тел. Существование неспрямляемых кривых, неквадрируемых плоских фигур и поверхностей. Вопрос 16. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости ряда, необходимое условие сходимости, признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Понятие нормы, ряды в нормированных пространствах. Структура ответа. Понятия числового ряда, последовательности частичных сумм ряда и последовательности остатков ряда, сходящегося/ расходящегося ряда, суммы ряда. Бесконечные геометрические прогрессии. Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость числового ряда и сходимость его остатков. Критерий Коши сходимости числового ряда. Ряды с положительными членами: ограниченность последовательности частичных сумм как критерий сходимости, признаки сравнения, интегральный признак сходимости. Гармонический ряд и семейство обобщенных гармонических рядов. Признаки Коши и Даламбера. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. признаки Коши и Даламбера для знакопеременных рядов. Понятия нормы на векторном пространстве, нормированного пространства, банахова пространства. Сходящиеся ряды в нормированном пространстве, необходимое условие сходимости, абсолютная сходимость. Вопрос 17. Функциональные последовательности и ряды: поточечная и равномерная сходимость. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Ряд Тейлора, разложение элементарных функций в степенные ряды. Биномиальный ряд. Структура ответа. Функциональные последовательности: понятия поточечной и равномерной сходимости. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Непрерывность предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. Функциональные ряды: область сходимости, понятие равномерной сходимости на множестве. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Действия над функциональными рядами. Степенные ряды на числовой прямой: теорема Абеля, интервал сходимости, радиус сходимости, равномерная сходимость на любом отрезке внутри интервала сходимости. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Степенные ряды в комплексной плоскости: теорема Абеля, круг сходимости, радиус сходимости, равномерная сходимость на любом замкнутом ограниченном множестве внутри круга сходимости, аналитичность суммы. Единственность разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Достаточные условия сходимости ряда Тейлора функции действительной переменной к своей функции. Биномиальный ряд. Вопрос 18. Понятие скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные системы, разложение в ряд по ортогональной системе. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье, разложение функций в тригонометрические ряды. Структура ответа. Понятие скалярного произведения на векторном пространстве, гильбертовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского, скалярное произведение и норма. Ортогональные элементы, ортогональные системы, ортоганальные базисы. Разложение по ортогональной системе. Скалярное произведение на пространстве функций. Тригонометрическая система на отрезке [-;] как ортогональная система. Единственность разложения функции в тригонометрический ряд. Ряд Фурье. Достаточные условия сходимости ряда Фурье к своей функции (теорема Дирихле). Ряды Фурье четных и нечетных функций. Разложение функции в ряд по синусам, в ряд по косинусам. Ряды Фурье на произвольном отрезке. Ряды Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Тригонометрическая система как базис гильбертова пространства. Вопрос 19. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши, теорема существования и единственности решения. Структура ответа. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Решение уравнения, интегральная кривая. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка в нормальной форме (разрешенное относительно производной). Понятие общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Некоторые классы дифференциальных уравнений первого порядка, допускающие решение в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: метод Бернулли, метод вариации произвольной постоянной. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения первого порядка, неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в нормальной форме, ее геометрический смысл. Глобальный характер существования и единственности решения задачи Коши в случае линейного дифференциального уравнения первого порядка. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: задача Коши, теорема существования и единственности ее решения, особые точки, особые решения. Уравнения Клеро и Лагранжа. Вопрос 20. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Свободные и вынужденные колебания. Структура ответа. Понятие линейного обыкновенного дифференциального уравнения; однородные и неоднородные линейные уравнения. Множество решений однородного линейного дифференциального уравнения как векторное пространство. Понятие фундаментальной системы решений, определитель Вронского системы решений, характеристика фундаментальной системы решений однородного линейного дифференциального уравнения в терминах определителя Вронского. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка, неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородных уравнений. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, построение фундаментальной системы решений. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида: подбор частного решения. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка как модель свободных колебаний. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка как модель вынужденных колебаний. Понятие об устойчивости стационарных решений дифференциальных уравнений (на примере задачи о колебаниях). Вопрос 21. Дифференцируемость функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции. Структура ответа. Понятие функции комплексной переменной, дифференцируемой в точке. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной. Понятие функции комплексной переменной, голоморфной в точке, в области. Первое определение аналитической функции. Разложение аналитической функции в степенной ряд в окрестности данной точки (без доказательства). Второе определение аналитической функции. Равносильность двух определений аналитической функции (без доказательства). Производная степенной функции комплексной переменной. Дифференцирование степенных рядов. Дифференцируемость производной аналитической функции. Понятие гармонической функции. Связь гармонических функций с аналитическими. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной. Понятие конформного отображения. Аналитические функции как конформные отображения. Вопрос 22. Интегрируемость функции комплексной переменной. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Особые точки. Вычеты. Структура ответа. Понятие интеграла комплекснозначной функции действительной переменной. Понятие интеграла функции комплексной переменной по кривой в комплексной плоскости. Сведение интеграла функции комплексной переменной к криволинейному интегралу, к интегралу Римана. Случай интеграла от аналитической функции по замкнутой кривой: интегральная теорема Коши. Интегральная теорема Коши для составного контура. Интегральная формула Коши и некоторые ее следствия (интегральные формулы для коэффициентов ряда Тейлора аналитической функции; аналитичность производной аналитической функции; интегральные формулы для производных аналитической функции). Изолированные особые точки аналитической функции. Разложение аналитической функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Классификация изолированных особых точек аналитической функции по виду главной части ряда Лорана: правильные точки, полюсы (простые и кратные), существенно особые точки; характеристика классов особых точек в терминах пределов. Понятие вычета функции в изолированной особой точке, способы вычисления вычетов. Теорема о вычетах. Бесконечность как особая точка аналитической функции. Вычет в бесконечно удаленной точке. Теорема о полной сумме вычетов. Вопрос 22. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Условные вероятности. Формула полной вероятности, формула Байеса. Структура ответа. Случайные события; достоверное событие, невозможное событие. Понятие о вероятности события. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Комбинаторное определение вероятности как частный случай построения вероятностного пространства (конечное множество элементарных событий с равновероятными исходами). Геометрическое определение вероятности как частный случай построения вероятностного пространства (континуальное множество элементарных событий с вероятностью события, пропорциональной его мере). Совместные и несовместные, зависимые и независимые случайные события. Вероятность произведения независимых событий. Вероятность суммы несовместных событий. Понятие условной вероятности события. Вероятность произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли) и соответствующее ей вероятностное пространство. Вопрос 23. Случайные величины, их функции распределения, их числовые характеристики. Независимые случайные величины. Закон больших чисел. Структура ответа. Дискретная случайная величина: закон распределения, функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия. Примеры распределений дискретных случайных величин: распределение Бернулли, распределение Пуассона. Непрерывная случайная величина: функция распределения, плотность распределения. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия. Примеры распределений непрерывных случайных величин: равномерное распределение, нормальное распределение. Ковариация, коэффициент корреляции двух случайных величин. Независимые случайные величины. Свойства математического ожидания и дисперсии случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТРА Основная литература
Дополнительная литература
1.6. Содержание экзамена по дисциплине «Алгебра» Вопрос 1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество. Структура ответа. Понятие бинарного отношения. Примеры. Виды бинарных отношений: рефлексивное, симметричное, транзитивное, антирефлексивное, антисимметричное. Отношение эквивалентности. Примеры. Классы эквивалентности, фактор-множество. Разбиение множества на классы эквивалентности. Теорема о задании отношения эквивалентности с помощью разбиения и о задании разбиения множества с помощью отношения эквивалентности (одну из теорем требуется доказать). Отношение порядка, строгого порядка, линейного порядка. |
Похожие:
 | Программа итогового государственного экзамена по специальности «Реклама»... Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования... | | Программа итогового государственного экзамена по теории и практике... Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования... |
| Программа итоговой государственной аттестации выпускников гбоу спо... Программа итоговой государственной аттестации выпускников по профессии «Слесарь по ремонту автомобилей» разработана на основании... |  | Мифы корпоративной культуры Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования... |
| Тема: Берлин столица Германии Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования... | | Программа итоговой государственной аттестации выпускников по специальности... России 10. 03. 2000 г. (регистрационный №134 мед/СП) и типовых ситуационных задач для итоговой государственной аттестации выпускников... |
| Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования... | | Программа итоговой государственной аттестации по специальности 030501 «юриспруденция» Общая характеристика итоговой государственной аттестации выпускников и видыаттестационных испытаний 3 |
| Аннотация дисциплины «Социологические проблемы изучения общественного мнения» Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования... | | Технологическая карта дисциплины Кафедра теории и методики сервисной... Мжд/СП, Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденным Министерством образования... |
| Программа итоговой государственной аттестации выпускников Специальность... Программа итоговой государственной аттестации выпускников по специальности 050103 «География» (квалификация – учитель географии)... | | Программа итоговой государственной аттестации по Прикладной математике... Программа предназначена для выпускников факультета физико-математического образования, информатики и программирования по специальности... |
| Программа итоговой государственной аттестации выпускников по специальности... Вопросы для государственной аттестации по психологии и педагогике с методикой обучения иностранному языку | | Приказ №01- 624 «Об организации и проведении государственной (итоговой)... «Об организации и проведении государственной (итоговой) аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений Челябинской... |
| Программа государственной итоговой аттестации выпускников по специальности Педагогические тестовые материалы являются стандартизированными измерителями, используемыми для организации и оценки внутривузовского... | | Программа итоговой государственной аттестации по направлению: 070100.... Положением «Об итоговой государственной аттестации выпускников пгпу», Положением «О выпускной квалификационной работе пгпу», учебным... |
