Приложение 2 Обсуждение и решение варианта № 1
Часть 1
А1 Укажите наибольшее из чисел.
1) 0,52,8
2) 40,1
3) 2-0,5
4) 0,250,25
При решении задачи А1 Вам необходимо продемонстрировать владение понятием степени с рациональным показателем, умение выполнять тождественные преобразования и находить их значения. В частности, необходимо сравнивать степени с различными и одинаковыми основаниями.
Обычно, сравнивая степени, мы стремимся привести их к одному основанию. В этом случае мы учитываем, что показательная функция с основанием, большим 1, возрастает с ростом аргумента и большему значению показателя степени соответствует большее число. При основании, меньшем 1, ситуация является обратной, т.е. большему показателю степени соответ-ствует меньшее число.
Мы можем поступить так и в данном случае, представив каждое число как степень с основанием 2. Однако эффективнее заметить, что второе число больше 1, все остальные числа меньше 1, поэтому наибольшим является второе число.
Правильный ответ: № 2.
А2 Найдите значение выражения 
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
В задаче А2 надо выполнить тождественные преобразования с выражениями, содержащими корни. При этом надо уметь выполнять, прежде всего, простые действия со степенями. Тем не менее, желательно быть готовым и к выполнению и более сложных операций.
Запишем в данном случае выражение в виде одной дроби, т.е. в виде
 .
В числителе первый множитель является полным квадратом, а третий – неполным квадратом суммы, в знаменателе стоит разность кубов. Отсюда выражение разлагается на множители и упрощается
 .
После подстановки а = 32.
Правильный ответ: № 3.
A3 Найдите значение выражения 
1) 3
2) -3
3) -9
4) -4
Умение выполнять тождественные преобразования логарифмических выражений проверяется при решении задачи A3.
При этом может потребоваться знание многих свойств логарифмов. Это и формулы для логарифма произведения и суммы логарифмов, логарифма частного и разности логарифмов, логарифма степени. Надо знать формулу перехода к новому основанию в логарифме, основное логарифмическое тождество, комбинированно применять различные свойства.
В данном случае для преобразования первого слагаемого применим основное логариф-мическое тождество  , после чего первое слагаемое равно 6.
Во втором слагаемом вычисляем показатель степени из определения логарифма. Он равен 2,
и второе слагаемое равно 9. Разность слагаемых равна – 3.
Правильный ответ: № 2.
А4 Функция у = f (х) задана графиком. Укажите число целых значений этой функции.
1) 2
2) 4
3) 6
4) 7
Ваше умение читать свойства функции по графику и распознавать графики элементарных функций проверяется при решении задачи А4.
Здесь Вы должны установить связь между свойствами функции и ее графиком. Надо видеть по графику область определения функции, множество ее значений, ориентироваться в опреде-лении непрерывности функции, периодичности, четности (нечетности) функции. Непосредственно по графику функции надо уметь определять промежутки возрастания (убывания) функции, наибольшее и наименьшее значения функции, распознавать графики элементарных функций.
Заметим, что построенный или исследуемый график функции должен отражать характер поведение функции и показывать все ее характерные точки.
В данном случае множество значений функции состоит из проекций точек графика функции на ось ординат. После этого нетрудно заметить, среди множества значений целыми являются числа: – 1,0, 1,2.
Правильный ответ: № 2.
А5 Найдите значение производной функции в точке х0 = 0.
1) 3
2) 15
3) 17
4) 19
Задание А5 связано с понятием производной функции. Прежде всего, проверяется умение вычислять производную, используя таблицу производных основных элементарных функций и основные правила вычисления производной. Надо знать, как вычислить производную суммы, разности, произведения, частного двух функций, а также производную сложной функции.
При выполнении этого задания надо также владеть геометрическим и физическим смыслом производной.
Итак, надо знать, что производная функции в данной точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х0.
Физический смысл производной заключается в том, что при прямолинейном движении тела производная по времени t от функции, равной пути, пройденному телом за время t, равна мгновенной скорости тела в момент времени t.
В данном случае при нахождении производной функции мы пользуемся правилом нахож-дения производной сложной функции. Точнее, речь идет о частном функции вида у = f(kx + b).
Итак,
Подставляя в полученную производную х0 = 0.
Правильный ответ: № 3.
А6 Найдите наименьшее целое значение функции
1) 0
2) 1
3) 2
4) 3
При решении задачи А6 надо проявить умение находить множество значений функции. При этом Вам придется исследовать тригонометрическую, показательную, логарифмическую или рациональную функцию.
Быть может, в этой задаче будет очень простая ситуация. Скажем, Вам достаточно будет знать, что значения синуса и косинуса находятся на промежутке [-1; 1], их квадраты принимают значения на промежутке [0; 1]. Не забывайте, что показательная функция принимает положитель-ные значения, а логарифмическая может принимать любые значения.
В данном случае мы столкнулись со сложной функцией, и ее компоненты надо исследовать по отдельности. Надо понять, что внешней функцией является монотонно возрастающая логариф-мическая функция.
Аргументом этой функции является квадратичная функция, принимающая значения от двух до плюс бесконечности. Тем самым вся функция принимает значения, начиная с log2 2 = 1.
Правильный ответ: № 2.
А7 Функция y = f(x) задана на промежутке [-7; 8]. Найдите число целых решений неравенства f(х) > 1.
1) 3
2) 4
3) 6
4) 11
Графический метод решения неравенств, т.е. использование графиков в решении неравенств – так обозначена тема задачи А7 в спецификации Единого экзамена по математике.
Условию f(x) > 1 удовлетворяют те точки графика функции, которые лежат выше прямой
у = 1. Это будет при х = -7, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6 и х = 7. Всего таких точек 6.
Правильный ответ: № 3.
А8 Найдите число целых значений из области определения функции
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Задача А5 связана с нахождением области определения сложной функции. При этом Вам могут встретиться тригонометрическая, показательная, логарифмическая функция и корень четной степени.
Каким образом найти область определения функции? В сложной ситуации можно поступить следующим образом. Представьте себе, что Вам задам аргумент х и надо вычислить соответствую-щее значение функции f(x). Если написать условие выполнимости каждой операции при вычислении функции, то мы и получим систему для нахождения области определения.
В данном случае ситуация более конкретная. Надо указать условия, при которых существует логарифмическая функция. Это условия: . Несложно проверить, что лишь числа 1 и 3 удовлетворяют всем этим условиям.
Правильный ответ: № 2.
А9 Найдите решение неравенства 
1) (-∞; 2]
2) [2; +∞)
3) (1; 2]
4) {2}
Умение решать неравенства с одной переменной на основе свойств функции проверяется при решении задачи А9.
Заметим, что в этом задании могут встретиться рациональные неравенства, показательные, логарифмические, неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, неравенства с параметром и комбинированные неравенства. Все это отражено в разных вариантах нашей книги.
Метод интервалов обычно применяют при решении дробно-рациональных неравенств.
В методе интервалов на числовой оси необходимо отметить точки, при которых неравенство переходит в равенство и точки, являющиеся границей области определения входящих в неравенство функций. После этого на числовой оси образуются интервалы, каждый из которых либо целиком является решением данного неравенства, либо целиком не является этим решением. В ответ отбираются те интервалы и те отмеченные точки, которые являются решением неравенства.
Мы с Вами должны понимать, что метод интервалов является универсальным. Он применим для неравенств любого вида.
Это, конечно, не значит, что любое неравенство надо решать методом интервалов. Могут быть и другие способы рассуждений.
Вообще говоря, правильным решением будет то рассуждение, в результате которого нами будет получен обоснованный правильный ответ.
В данном случае мы, прежде всего, обращаем внимание на тот факт, что путем преобразо-ваний нельзя решить это, казалось бы, простое неравенство, т.к. оно содержит одновременно и логарифмическую функцию и степенную.
Вторая сложность в этой задаче. И левая, и правая части являются возрастающими функциями.
У нас есть еще один способ изучения поведения функции. Это исследование ее производной. Производная левой части равна  , производная правой части равна 1. Мы видим, что эти производные равны при х = 2. Но в этой точке и функции совпадают, т.е. х = 2 является решением нашего неравенства.
При 1 < x < 2 производная левой части больше производной правой части, т.е. их разность
ln(х – 1) – (х – 2) является возрастающей функцией, равной 0 при х = 2, следовательно, ln (х – 1) < х – 2 при 1 < х < 2.
При х > 2 производная левой части меньше производной правой части, т.е. их разность ln(х –1) – – (х – 2) является убывающей функцией, равной 0 при х = 2, следовательно, снова ln(х –1) < х – 2 при х > 2 . Итак, наше неравенство выполнено только при х = 2.
Заметим, что можно было еще графически решить задачу, доказав что прямая у = х – 2 является касательной к графику функции у = ln(х – 1) в точке с абсциссой 2.
Правильный ответ: № 4.
А10 Найдите число корней уравнения  на отрезке 
1) 1
2) 2
3) 3
4) 0
В задании А8 проверяется умение решать простейшие уравнения и отбирать корни по заданному условию. Уравнение может быть иррациональным, тригонометрическим, показатель-ным или логарифмическим.
Данное уравнение после применения формулы  сводится к квадратному уравнению  относительно  , корни которого равны 1 и - 7. Итак,  = 1 или . Первое соотношение дает одно решение на нашем промежутке х = 0. Второе соотношение сводится к виду  и на нашем промежутке длины 2π имеет 2 решения,
т.к. косинус на периоде каждое значение, по модулю меньшее 1, принимает 2 раза.
Правильный ответ: № 3.
Часть 2
B1 Найдите наименьший корень уравнения  , лежащий на интервале (-31; 0).
В задании В1 необходимо проявить умение решать уравнения с использованием равносиль-ности уравнений.
Мы должны понимать, что понятие равносильности преобразования является очень важным при решении уравнений и неравенств. При равносильном преобразовании не меняется множество решений задачи. Именно за счет таких преобразований мы, как правило, и решаем уравнения и неравенства.
Но часто бывает ситуация, когда преобразование является равносильным лишь на некотором множестве.
В данном случае уравнение сводится к виду  .
Возникает вопрос, при каком условии тангенсы двух величин равны? Если посмотреть на график тангенса, то ответ кажется простым. Разность аргументов должна быть равна πп, n Z.
Но это может оказаться неправильным ответом, если мы не учтем область определения тангенса.
Итак, в данном случае  и приходим к соотношению х = п, п Z. Казалось бы, правильный ответ – 30. Но, если мы подставим это число в уравнение, получим  , которое не является верным равенством, т.к. левая и правая части не существуют. С числом – 29 все в порядке.
Правильный ответ: 29.
B2 Найдите значение a + b + c + r, если числа а, b, с и r выбраны таким образом, что равенство  верно для всех допустимых значений х.
Умение выполнять тождественные преобразования выражений и находить их значения потребуется в задании В2. При этом могут встретиться иррациональные, степенные, тригономет-рические или логарифмические выражения.
При решении этой задачи возможны, по крайней мере, 2 варианта.
Во-первых, можно привести правую часть к общему знаменателю. Тогда слева и справа будут две дроби с одинаковыми знаменателями. Следовательно, тождественно равны числители,
т.е.  . Раскрывая здесь скобки и приравнивая коэффициенты слева и справа при степенях х, х, х, а также свободные члены, мы получаем систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными, решая которую, мы и находим числа a, b, c, r.
Второй способ более простой. После деления в левой части числителя на знаменатель мы полу-чаем равенство  , откуда а = 1, b = -2, c = 3, r = 2.
Правильный ответ: 4.
B3 Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
При выполнении задания ВЗ потребуется умение применять общие приемы решения уравнений. Речь идет об уравнениях иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических.
О каких приемах решения уравнений идет речь?
Это разложение на множители выражений, замена переменной при решении уравнений, графический метод и использование свойств функций.
При решении данного уравнения заметим, что каждое число может быть представлено в виде логарифма по любому допустимому основанию. Поэтому наше уравнение равносильно уравнению  . Отсюда следует, что  или  . После вынесения общего множителя из каждой пары мы находим корни последнего уравнения: – 4,4 и 8. С учетом области определения корнями исходного уравнения являются последние два числа 4 и 8.
Правильный ответ: 12.
В4 Найдите сумму модулей всех значений переменных, являющихся решением (или реше-ниями, если их несколько) системы
В задании В4 надо решать системы уравнений, содержащих одно или два показательных уравнения (логарифмических, иррациональных, тригонометрических или их сочетание).
Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными, мы обычно выражаем одну переменную через другую в одном уравнении и подставляем это выражение в другое уравнение.
В данном случае сразу это сделать невозможно. Запишем систему в виде  Отсюда, в области определения функций, входящих в систему,
Вычитая из первого уравнения второе, имеем х – у = х2 – у2 . Последнее уравнение выпол-няется в двух случаях: у = х и у = 1–х. В первом случае у = х мы приходим к решению системы
х1 = у1 = 13 (второе решение последней системы не входит в область определения первой).
Во втором случае у = 1 – х последняя система дает 2 решения х2 = 3, у2 = –2 и x3 = –2, у3 = 3. Сумма модулей всех значений переменных равна 13 + 13 + 3 + 2 + 2 + 3 = 36.
Правильный ответ: 36.
В5 На рисунке изображен график производной функции y = f(x). В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.
.
Умение исследовать функцию с помощью производной по графику производной и применять геометрический смысл производной проверяется в задании В5.
В каждом задании важно понять смысл вопроса, который задается. В данном случае касательная параллельна оси Ох там, где производная равна 0. По графику производной видно, что таких точек 6.
Правильный ответ: 6.
B6 Найдите значение выражения 
Умение выполнять тождественные преобразования выражений и находить их значение проверяется в задании В6. В задании могут участвовать рациональные степени и логарифмические выражения.
Заметим, что  поэтому мы можем воспользоваться формулой  для первого множителя. Но если заметить, что  , заданное выражение запишется в виде
Правильный ответ: –125.
B7 Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
В задании В7 надо проявить умение использовать несколько приёмов при решении уравнений.
Уравнения могут быть иррациональными, тригонометрическими, показательными или логарифмическими.
В данном случае заметим, что аргументами логарифмических функций являются полные квадраты, поэтому мы воспользуемся формулой  . В итоге заданное уравнение запишется в виде  . Отсюда  и сумма соответст-вующих корней  равна 4.
Правильный ответ: 4.
B8 Найдите значение параметра а (или произведение таких значений, если их несколько), при которых наименьший, положительный период функции 
Знание свойств периодичной функции потребуется по спецификации при решении задачи В8. Могут встретиться все тригонометрические функции. Опыт прошлых лет показывает, что неплохо было бы также ориентироваться в понятиях четная и нечетная функция.
Число Т >0 (если такое существует) называется периодом функции f(x), если во всей области определения выполнено условие f(x + T) = f(x).
Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для всех значений аргумента из области определения выполнено соотношение
f(–x) = f(x).
Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для всех значений аргумента из области определения выполнено соотношение f(–x) = –f(x).
Мы знаем, что период (мы здесь под словом период понимаем наименьший, положительный период функции) функции y = cosx равен 2π .
Соответственно, период функции  , период функции и т. д.
А вот период функции у = cos 2х при  равен не  , а 
Итак, период заданной функции  равен  . Приравнивая эту величину к заданному периоду  , получаем  . Отсюда а принимает значения 9,5 и 1,5. Их произведение равно 14,25.
Правильный ответ: 14,25.
В9 Задана арифметическая прогрессия с первым членом 2 и разностью 5, а также геометри-ческая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 2. Найдите сумму первых четырех совпа-дающих членов этих прогрессий.
В задании В9 вам потребуется умение решать текстовую задачу, составляя математическую модель предложенной в ней ситуации.
При создании математической модели необходимо текст, описывающий изучаемую ситуацию, перевести в переменные, формулы, уравнения и неравенства. Могут встретиться разные ситуации, в том числе задачи на движение, на работу, задачи на сложные проценты, десятичную форму записи числа, задачи на концентрации, смеси и сплавы.
Естественно, самым главным условием решения задачи является логически верное понимание той ситуации, которое в ней описывается.
Заметим, что членами арифметической прогрессии являются все натуральные числа, оканчивающиеся на 2 и на 7. Так как все члены геометрической прогрессии, начиная со второго, являются четными числами, то общими будут те члены геометрической прогрессии, которые оканчиваются на 2. Это числа: 2, 2·16, 2·162 и 2·163. Их сумма равна 8738.
Правильный ответ: 8738.
В10 В правильной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 72 и высотой 63 точка Е лежит на ребре AD таким образом, что СЕ является биссектрисой треугольника ACD. Найдите расстояние от точки Е до плоскости B1CD1.
В задании В10 Вам потребуется умение решать стереометрические задачи. Безусловно, здесь возможен широкий спектр задач и достаточно большое число их приведено в этой книге.
При решении многих стереометрических задач важную роль играет удачный выбор плоскости, в которой происходят основные события. В этой задаче таких плоскостей будет две.
Первой рассмотрим плоскость основания ABCD. Биссектриса СЕ треугольника ACD делит противоположную сторону AD на части, пропорциональные его боковым сторонам АС и CD. Зная сторону квадрата 72, найдем отсюда АЕ = 72(2- ) и ED = 72( -1). Пусть EF – перпендикуляр, опущенный из Е на АС. Тогда EF = 72( -1) и FC = 72.
Второй рассмотрим плоскость диагонального сечения призмы АА1С1С. Если G – середина А1С1, то искомым расстоянием является длина перпендикуляра FH, опущенного из F на CG. Пусть α= FCH= CGC1, тогда FH = FCsinα . В то же время, в треугольнике CGC1 известны катеты GC1 = и СС1 = 63.
Отсюда  и, соответственно  . Итак  .
Правильный ответ: 56.
B11 Точки касания пятиугольника делят окружность, вокруг которой он описан, на части, длины которых пропорциональны числам: 1, 2, 2, 3, 4. Найдите площадь этого пятиугольника, если известно, что длина радиуса вписанной окружности является наименьшим, положительным корнем уравнения 
Умение решать планиметрические задачи проверяется в задании В11. Здесь могут быть самые разнообразные задачи. Планиметрическая задача на ЕГЭ, как правило, гораздо сложнее предыдущей задачи, стереометрической.
Чтобы построить заданный пятиугольник, можно на окружности последовательно отметить точки с градусными мерами дуг: 30, 60, 60, 90, 120. Через каждую отмеченную точку проведем касательную. Точки пересечения касательных и есть вершины нашего пятиугольника.
Если каждую вершину пятиугольника соединить с центром окружности, то пятиугольник разобьется на 5 частей, каждая из которых построена следующим образом. Из центра окружности проведены 2 радиуса, угол между которыми равен α, α принимает последовательно значения: 30°, 60°, 60°, 90° и 120°. Из концов радиусов проводим к ним два перпендикуляра. Нетрудно проверить, что площадь построенной фигуры равна  . В итоге площадь пятиугольника равна  . Заметим, что  Подставив это и остальные значения тангенса, имеем  . Из уравнения  следует, что  . Искомая площадь равна 11,5.
Правильный ответ: 11,5.
ЧАСТЬ 3
С1 Найдите наименьшее значение функции 
Умение исследовать свойства сложной функции потребуется при решении задачи С1.
В области определения х > 5,5 заданная функция может быть записана в виде  Соответственно,  и наша функция (проверьте знаки производной) убывает от 5,5 до 12 и возрастает при значениях аргумента, больше или равных 12. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при аргументе х = 12. Вычисляя соответствующее значение функции, получаем искомый результат.
Правильный ответ: 156.
С2 Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения 
В задании С2 надо проявить умение использовать несколько приемов при решении уравнений. При этом могут встретиться иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения и их комбинации.
Поделим обе части нашего уравнения на величину 24х, после чего наше уравнение запишется в виде  Полученное уравнение является квадратным относительно  , причем, с учетом обратной теоремы Виета, корнями являются числа t1= 23 и t2 = 28.
В итоге корнями первоначального уравнения являются числа: – 1, – 2, 3, 4. Их произведение равно 24.
Правильный ответ: 24.
С3 Найдите сумму целых значений параметра а, при которых множество решений нера-венства  содержит все члены некоторой геометрической прогрессии с первым членом, равным 4, и знаменателем –3 < q < –1.
Умение решать задачи с параметром проверяется в задаче С5.
Общая идея решения задачи будет следующей. На плоскости Оха мы отметим те пары чисел (х;а), т.е. точки с этими координатами, которые удовлетворяют заданному неравенству.
При этом вначале заметим, что  . Отсюда мы упростим само первоначальное неравенство, приведя его к виду  . Теперь проведем линию |х – 3| = 3, что равносильно двум прямым х = 0 и х = 3, а также линию а = |х – 3|. При этом плоскость разобьется на части, каждая из которых либо целиком является решением нашего неравенства, либо целиком не является этим решением. На рисунке заштрихована та часть плоскости, которая определяет решение неравенства.
Так как первый член прогрессии равен 4, то  . Непосредственно видно, что при  второй член прогрессии обязательно выходит за рамки множества решений. Искомыми значениями а будет множество [1; 15). Сумма целых а равна 105.
Правильный ответ: 105.
С4 Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник с катетами АВ = 1 и ВС = 4. Высота призмы равна 8. Найдите объем пирамиды с вершиной в точке C1 и основанием, совпадающим с сечением призмы плоскостью, проходящей через середины ребер ВС, BB1 и A1B1.
В задании С4 проверяется умение решать стереометрическую задачу на комбинацию геометрических тел.
Непосредственное нахождение площади основания и высоты нужной нам пирамиды является очень сложной задачей. Поэтому мы пойдем на некоторую хитрость.
Рассмотрим еще одну такую же призму и приставим их друг к другу таким образом, чтобы получился прямоугольный параллелепипед со сторонами 1, 4, 8. Если в качестве, основания новой пирамиды взять сечение параллелепипеда той же плоскостью, а вершину оставить ту же, то объем пирамиды увеличится в 2 раза.
В прямоугольном параллелепипеде эта задача может быть решена непосредственно, однако ситуация еще более упростится, если мы рассмотрим куб со стороной 1 и пирамиду в нем с такими же условиями построения. Объем этой третьей пирамиды будет в 32 раза (4×8) меньше предыдущей.
В единичном кубе объем пирамиды равен  , следовательно, искомый объем равен 6. Основные события при этом разворачиваются в диагональном сечении куба.
Правильный ответ: 6.
С5 Найдите число решений системы уравнений
Уметь решать и проводить исследование решения системы, содержащей уравнения разного вида, необходимо при выполнении задания С5.
Системы могут содержать уравнения разного вида (иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические). Возможно нахождение решения по заданному условию.
В данном случае ключом к исследованию системы является тот факт, что каждое из уравнений представляется в виде равенства нулю произведения двух относительно простых выражений.
Итак, система может быть записана в виде  Сделаем эскизы графиков функций у = sinπx, у = 2х, х = –2у и кривой х = -0,5cosπy. Мы видим, что прямая х = –2у пересекает график функции y = sinπx в 5 точках, одна из которых – начало координат и имеет одну общую точку с кривой x = –0,5cosπy. Прямая у = 2х пересекает график функции y = sinπx в трех точках с координатами (-0,5; -1), (0; 0), (0,5; 1). Таким образом, число различных точек достигло 8. Рассмотрим общие точки прямой у=2х и кривой x = –0,5cosπy. Здесь появляется новая точка с отрицательными координатами, старая точка (0,5; 1) и рядом с последней точкой – еще одна точка, т.к. касательная к кривой x= –0,5cosπy в точке (0,5; 1) параллельна оси Оу и прямая у = 2х пересекает кривую x = –0,5cosπy в двух точках с положительными координатами. Таким образом, добавляются 2 точки.
Правильный ответ: 10.
|
