Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Преобразование рациональных выражений 1. Рациональное выражение и методика его упрощения Вспомним сначала определение рационального выражения. Определение. Рациональное выражение - алгебраическое выражение, не содержащее корней и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень). Под понятием «преобразовать рациональное выражение» мы имеем в виду, прежде всего, его упрощение. А это осуществляется в известном нам порядке действий: сначала действия в скобках, затем произведение чисел(возведение в степень), деление чисел, а затем действия сложения/вычитания. 2. Упрощение рациональных выражений с суммой/разностью дробей Основной целью сегодняшнего урока будет приобретение опыта при решении более сложных задач на упрощение рациональных выражений. Пример 1. Упростить рациональное выражение . Решение. Сначала может показаться, что указанные дроби можно сократить, т.к. выражения в числителях дробей очень похожи на формулы полных квадратов соответствующих им знаменателей. В данном случае важно не спешить, а отдельно проверить так ли это. Проверим числитель первой дроби: . Теперь числитель второй: . Как видно, наши ожидания не оправдались, и выражения в числителях не являются полными квадратами, т.к. у них отсутствует удвоение произведения. Такие выражения, если вспомнить курс 7 класса, называют неполными квадратами. Следует быть очень внимательными в таких случаях, т.к. перепутывание формулы полного квадрата с неполным очень частая ошибка, а подобные примеры проверяют внимательность учащегося. Поскольку сокращение невозможно, то выполним сложение дробей. У знаменателей нет общих множителей, поэтому они просто перемножаются для получения наименьшего общего знаменателя, а дополнительным множителем для каждой из дробей является знаменатель другой дроби.   Конечно же, далее можно раскрыть скобки и привести затем подобные слагаемые, однако, в данном случае можно обойтись меньшими затратами сил и заметить в числителе первое слагаемое является формулой суммы кубов, а второе разности кубов. Для удобства вспомним эти формулы в общем виде:  и . В нашем же случае выражения в числителе сворачиваются следующим образом: , второе выражение аналогично. Имеем: . Ответ.. Пример 2. Упростить рациональное выражение . Решение. Данный пример похож на предыдущий, но здесь сразу видно, что в числителях дробей находятся неполные квадраты, поэтому сокращение на начальном этапе решения невозможно. Аналогично предыдущему примеру складываем дроби: , здесь мы аналогично способу, указанному выше, заметили и свернули выражения по формулам суммы и разности кубов. Ответ.. Пример 3. Упростить рациональное выражение . Решение. Можно заметить, что знаменатель второй дроби раскладывается на множители по формуле суммы кубов. Как мы уже знаем, разложение знаменателей на множители является полезным для дальнейшего поиска наименьшего общего знаменателя дробей. . Укажем наименьший общий знаменатель дробей, он равен: , – т.к. делится на знаменатель третьей дроби, а первое выражение вообще является целым и для него подойдет любой знаменатель. Указав очевидные дополнительные множители, запишем: . Ответ. 3. Упрощение рациональных выражений со сложными «многоэтажными» дробями Рассмотрим более сложный пример с «многоэтажными» дробями. Пример 4. Доказать тождество  при всех допустимых значениях переменной. Доказательство. Для доказательства указанного тождества постараемся упростить его левую часть (сложную) до того простого вида, который от нас требуется. Для этого выполним все действия с дробями в числителе и знаменателе, а затем разделим дроби и упростим результат. . Доказано при всех допустимых значениях переменной. Доказано. На следующем уроке мы подробно рассмотрим более сложные примеры на преобразование рациональных выражений. Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Преобразование более сложных рациональных выражений 1. Пример на доказательство тождества с помощью преобразований рациональных выражений На этом уроке мы рассмотрим преобразование более сложных рациональных выражений. Первый пример будет посвящён доказательству тождества. Пример 1 Доказать тождество: . Доказательство: В первую очередь при преобразовании рациональных выражений необходимо определиться с порядком действий. Напомним, что в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, а затем уже сложение и вычитание. Поэтому в данном примере порядок действий будет таким: сначала выполним действие в первых скобках, затем во вторых скобках, затем поделим полученные результаты, а затем к полученному выражению добавим дробь. В результате этих действий, а также упрощения, должно получиться выражение . Действие №1:           Действие №2:           Действие №3:           Действие №4:           Доказано 2. Пример на преобразование сложного рационального выражения Рассмотрим теперь пример на упрощение рационального выражения. Пример 2 Упростить выражение: . Решение: И снова нам необходимо определить порядок действий данного примера. Сначала необходимо выполнить действие в скобках. Затем полученное выражение поделить на дробь, которая стоит за скобками. Действие №1:           Действие №2:           Ответ: . Итак, мы рассмотрели более сложные случаи преобразования рациональных выражений. Все рассмотренные примеры и методы в дальнейшем нам очень пригодятся. Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Первые представления о решении рациональных уравнений 1. Понятие рационального уравнения и повторение преобразования рациональных выражений Определение. Рациональное уравнение – это уравнение вида  и все уравнения к нему сводящиеся, где  и  – многочлены. Заметим, что решение множества рациональных уравнений основано на технике преобразования рациональных выражений, которую мы подробно рассматривали на предыдущих уроках. Начнем с повторения технологии подобных преобразований и решим несколько примеров. Пример 1. Выполните подстановку и упростите выражение , где . Решение. Вынесем  за скобку: . Применим стандартный подход к упрощению подобных сложных выражений и выполним преобразования по действиям: сначала упростим выражение в скобках, а затем умножим на . Подставим значение переменной  в выражение в скобках: , после сокращений и сложения дробей получили упрощенный результат. Теперь перейдем ко второму действию и умножим полученное выражение на значение : . Ответ. . 2. Доказательство рациональных тождеств и их связь с рациональными уравнениями Пример 2. Доказать тождество . Доказательство. Можно задачу сформулировать и по-другому: «Решить уравнение» – т.е. найти все значения , при которых выполняется указанное равенство. Начнем, все же, с доказательства тождества. Заметим, что в знаменателе второй дроби находится сумма кубов: . Легко увидеть, что полученные множители являются знаменателями двух других дробей, находящихся в первых скобках, следовательно, знаменатель второй дроби является наименьшим общим знаменателем для всех трех дробей в скобке. Аналогично предыдущему примеру преобразуем данное выражение по действиям и начнем с первой скобки. Складывая и вычитая дроби, укажем дополнительные множители: . Вторым действием упростим выражение во второй скобке: . Теперь перемножим полученные выражения: , после первого сокращения в знаменателе умножим две одинаковые скобки, а выражение в числителе свернем по формуле полного квадрата суммы. Доказано. Теперь вернемся к самому тождеству и попробуем рассмотреть его, как уравнение. Напомним, что решить уравнение – это найти все значения , которые удовлетворяют уравнению. Решение. Мы уже доказали, что левая часть тождества тождественно равна правой при всех допустимых значениях переменной. Вот именно «допустимые значения переменной» в данном случае и являются важной фразой, ведь выражения с дробями, которые содержат переменную в знаменателе, могут иметь смысл не при всех значениях этой переменной. Левая часть рассматриваемого выражения имеет смысл, когда знаменатели входящих в нее дробей не равны нулю: 1) Первый и четвертый знаменатели: . 2) Поскольку второй знаменатель раскладывается на первый и третий, то сначала рассмотрим третий знаменатель:  при любых значениях переменной . Докажем это. Для этого выдели полный квадрат в исследуемом выражении: . Попробуем объяснить, зачем мы проделали подобные действия. Поскольку в исходном выражении старшая степень  и линейный член  вычитаются, то мы будем приводить его к квадрату разности по формуле: . Для этого из старшей степени с коэффициентом выделим квадрат , а из линейного члена выделим удвоенное произведение , тогда в роли квадрата второго коэффициента будет выступать . Но, поскольку мы прибавили член , которого в исходном выражении не было, то нам его придется и вычесть, а затем прибавить оставшуюся единицу, которую мы не преобразовывали. В итоге получаем:  при любых значениях переменной . Мы воспользовались неотрицательностью квадратичного выражения. Имеем, что знаменатель третьей дроби не равен нулю ни при каких значениях переменной . 3) Знаменатель второй дроби раскладывается на множители, которые представляют собой знаменатели первой и третьей дробей, а поскольку из них только значение первого может равняться нулю, а второго нет, то: , т.е. уже найденное ранее ограничение на допустимые значения переменной. Таким образом, мы указали, что вся левая часть выражения имеет смысл при всех допустимых значениях переменной, т.е. при , что и является решением уравнения. Ответ.. Пример 3. Докажите тождество . Доказательство. Проделаем преобразования по действиям. Упростим выражение в первой скобке. Для этого укажем наименьший общий знаменатель трех дробей, он равен , т.к. именно это выражение делится на все знаменатели одновременно. По известному нам алгоритму укажем и дополнительные множители: . В числителе полученной дроби нам придет воспользоваться формулами куба суммы и куба разности, которые мы сейчас вспомним в общем виде:  – куб суммы;  – куб разности. Применим эти формулы для упрощения числителя и откроем в нем все скобки, а затем приведем подобные слагаемые: , подставим это выражение в упрощаемую дробь и перепишем знаменатель в виде квадрата разности квадратов: . Перейдем ко второму действию, в котором умножим упрощенную нами первую скобку на указанную дробь, но перевернутую, т.к. на нее изначально требуется разделить. При этом, во второй дроби разность четвертых степеней разложим, как разность квадратов квадратичных элементов: . В третьем действии вычтем из полученного выражения последнюю дробь, т.к. мы можем поменять перед ней знак на противоположный, чтобы в знаменателе получить разность, аналогичную знаменателю полученной выше дроби. . Доказано. Мы повторили методы упрощения довольно сложных рациональных выражений. Теперь можем перейти к решению непосредственно рациональных уравнений, преобразования в которых, как правило, легче. 3. Решение простейших рациональных уравнений Пример 4. Решить уравнение . Решение. Начнем, как обычно, с упрощения рационального выражения, указанного в левой части уравнения. Для этого найдем наименьший общий знаменатель дробей, дополнительные множители и вычтем их: . На данном этапе решения акцентируем внимание на важном правиле решения рациональных уравнений:дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В нашем случае в знаменателе уже имеется число не равное нулю, поэтому имеем линейное уравнение из числителя: . Ответ.. Пример 5. Решить уравнение . Решение. Для того, чтобы воспользоваться правилом решения рациональных уравнений, перенесем все в левую сторону, чтобы справа получился ноль: . Для упрощения выражения, находящегося слева, сложим/вычтем дроби по хорошо известному нам алгоритму. Наименьший общий знаменатель дробей: . . В конце мы воспользовались уже сформулированным правилом решения рациональных уравнений (дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Полученные ограничения на область допустимых значений переменной не повлияли на полученный корень уравнения. Ответ.. На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основы техники решения рациональных уравнений и убедились, что, прежде всего, она базируется на умении преобразовывать рациональные выражения. На следующем уроке мы продолжим работать с рациональными уравнениями.

Похожие:

	Урок математики в 5-м классе по теме: "Обыкновенные дроби" Цели урока.... Закрепление умения сравнивать обыкновенные дроби и выполнять арифметические операции над ними		Урок обобщающего повторения Тема Тема: фсу, алгебраические дроби, действия с дробями. Квадратичная функция, ее свойства и график
	8 класс Учитель: Цыганова Светлана Владимировна 2008 г. Учебный предмет Обобщить и закрепить умения и навыки выполнения действий над алгебраическими дробями		Ролевая игра «Суд над дробями» Образовательные: Систематизировать и обобщить у учащихся знаний и умений при изучении материала: виды дробей, основное свойство дроби,...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Выполнять действия над многочленами с алгебраическими дробями и иррациональными выражениями		Требования к уровню подготовки учащихся Уметь распознать алгебраические дроби, находить множество допустимых значений переменной алгебраической дроби
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Навыки должны быть достаточно прочными, чтобы учащиеся не испытывали затруднений в вычислениях с рациональными числами, чтобы алгоритмы...		Никитина Ольга Владимировна, моу сош №81 г. Волгограда Цели урок Место в учебном плане: перед темой «Примеры на все действия с алгебраическими дробями»
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Рациональные и иррациональные числа. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел. Этапы...		Урок по теме: «Действия с обыкновенными дробями» 6 класс. Цели урока Сегодня на уроке мы должны повторить тему дроби и все действия с обыкновенными дробями. Сегодняшний урок это урок путешествия по...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Что такое дробь», «Основные свойства дроби», «Порядок...		Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального... Теоретические основы обучения теме «Алгебраические дроби»
	Урока «Обобщённый урок по теме «Дроби» Образовательные: совершенствовать навыки учащихся в работе с обыкновенными дробями, закрепить навыки выделения целой части из неправильной...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Целые и рациональные выражения; все арифметические действия с дробями; формулы сокращенного умножения
	Реферат на тему «История развития математики на Земле» Но кто и когда придумал цифры, стал выполнять над ними арифметические действия, кто дал им имена, кем и когда были придуманы дроби,...		Конспект урока «Арифметические действия с десятичными дробями» 5... «Математика», 5 класс, Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И